Номер 280, страница 174 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

280. Постройте треугольник $ABC$:

а) по стороне $a$, высоте $h_a$ и углу $\beta$;

б) по стороне $a$, высоте $h_a$ и стороне $b$.

а) по стороне $a$, высоте $h_a$ и углу $\beta$;

Анализ задачи: Нам даны сторона $BC = a$, угол $\beta = \angle B$ и высота $h_a$, проведенная к стороне $BC$. Вершина $B$ и сторона $BC$ могут быть построены сразу. Вершина $A$ должна удовлетворять двум условиям: 1) она лежит на луче, выходящем из точки $B$ под углом $\beta$ к $BC$; 2) она удалена от прямой $BC$ на расстояние $h_a$. Геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, — это пара прямых, параллельных $BC$. Таким образом, вершина $A$ — это точка пересечения луча и одной из этих параллельных прямых.

План построения:

1. На произвольной прямой отложим отрезок $BC$ длиной $a$.

2. От луча $BC$ построим луч $BM$ так, чтобы $\angle MBC = \beta$.

3. Построим прямую $p$, параллельную прямой $BC$ и удаленную от нее на расстояние $h_a$ (в ту же полуплоскость, где и луч $BM$). Для этого можно в любой точке прямой $BC$ (например, в точке $B$) восставить перпендикуляр и отложить на нем отрезок длиной $h_a$. Через конец этого отрезка провести прямую $p$, параллельную $BC$.

4. Точка пересечения луча $BM$ и прямой $p$ является искомой вершиной $A$.

5. Соединив точки $A$ и $C$, получаем искомый треугольник $ABC$.

Доказательство: В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC=a$ и $\angle B = \beta$ по построению. Расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ равно $h_a$, так как точка $A$ лежит на прямой $p$, параллельной $BC$ и удаленной от нее на $h_a$. Следовательно, высота, проведенная из $A$, равна $h_a$. Треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование: Задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности), если $a > 0$, $h_a > 0$ и $0 < \beta < 180^\circ$, так как луч $BM$ пересекает прямую $p$ в единственной точке.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ строится по вышеописанному плану. Задача имеет единственное решение при заданных условиях.

б) по стороне $a$, высоте $h_a$ и стороне $b$.

Анализ задачи: Нам даны сторона $BC = a$, сторона $AC = b$ и высота $h_a$, проведенная к стороне $BC$. Вершина $A$ должна удовлетворять двум условиям: 1) она удалена от прямой, содержащей сторону $BC$, на расстояние $h_a$; 2) она удалена от точки $C$ на расстояние $b$. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, — это пара прямых, параллельных $BC$. Геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, — это окружность с центром в точке $C$ и радиусом $b$. Таким образом, вершина $A$ — это точка пересечения одной из параллельных прямых и этой окружности.

План построения:

1. На произвольной прямой отложим отрезок $BC$ длиной $a$.

2. Построим прямую $p$, параллельную прямой $BC$ и удаленную от нее на расстояние $h_a$.

3. Построим окружность с центром в точке $C$ и радиусом, равным длине стороны $b$.

4. Точки пересечения прямой $p$ и построенной окружности являются возможными положениями вершины $A$.

5. Соединив одну из найденных точек $A$ с точками $B$ и $C$, получаем искомый треугольник $ABC$.

Доказательство: В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC=a$ по построению. Расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ равно $h_a$, так как точка $A$ лежит на прямой $p$, параллельной $BC$ и удаленной от нее на $h_a$. Длина стороны $AC$ равна $b$, так как точка $A$ лежит на окружности с центром $C$ и радиусом $b$. Следовательно, треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование: Количество решений задачи зависит от взаимного расположения прямой $p$ и окружности. Расстояние от центра окружности (точки $C$) до прямой $p$ равно $h_a$. Радиус окружности равен $b$.

- Если $b < h_a$, окружность и прямая не пересекаются, и решений нет. Это следует из того, что в прямоугольном треугольнике, образованном вершиной $A$, ее проекцией на прямую $BC$ и вершиной $C$, гипотенуза $AC=b$ не может быть короче катета, равного высоте $h_a$.

- Если $b = h_a$, окружность касается прямой $p$ в одной точке. В этом случае существует единственное решение. Треугольник $ABC$ будет прямоугольным, так как сторона $AC$ будет перпендикулярна прямой $BC$.

- Если $b > h_a$, окружность пересекает прямую $p$ в двух точках ($A_1$ и $A_2$). В этом случае существуют два решения, то есть можно построить два разных треугольника: $\triangle A_1BC$ и $\triangle A_2BC$. Эти треугольники, как правило, не равны друг другу.

Ответ: Задача имеет решение, если $b \ge h_a$. Если $b = h_a$, решение единственное. Если $b > h_a$, задача имеет два различных решения.