Номер 278, страница 174 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

278. Даны две пересекающиеся прямые. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от этих прямых.

Пусть даны две прямые, $a$ и $b$, пересекающиеся в точке $O$. Мы ищем геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от этих прямых. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Две пересекающиеся прямые делят плоскость на четыре угла. Эти углы образуют две пары вертикальных углов.

Рассмотрим произвольную точку $M$, равноудаленную от прямых $a$ и $b$. Пусть $MA$ — перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на прямую $a$ ($A \in a$), а $MB$ — перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на прямую $b$ ($B \in b$). По условию, длина этих перпендикуляров равна, то есть $MA = MB$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$.

• Гипотенуза $OM$ у них общая.
• Катеты $MA$ и $MB$ равны по условию ($MA = MB$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AOM = \angle BOM$.

Это означает, что точка $M$ лежит на луче $OM$, который является биссектрисой угла, образованного лучами прямых $a$ и $b$.

Справедливо и обратное утверждение: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон. Если точка $M$ лежит на биссектрисе угла, то, опустив из нее перпендикуляры $MA$ и $MB$ на стороны угла, мы получим два равных прямоугольных треугольника ($\triangle OAM$ и $\triangle OBM$) по гипотенузе и острому углу. Из их равенства следует, что $MA = MB$.

Таким образом, ГМТ, равноудаленных от сторон одного из четырех углов, является биссектриса этого угла.

Так как прямые $a$ и $b$ образуют четыре угла, то искомое ГМТ будет состоять из биссектрис всех четырех углов. Биссектрисы двух вертикальных углов являются продолжениями друг друга и образуют одну прямую. Так как у нас две пары вертикальных углов, то ГМТ состоит из двух прямых, проходящих через точку их пересечения $O$.

Эти две прямые (биссектрисы) взаимно перпендикулярны. Докажем это. Пусть смежные углы, образованные прямыми $a$ и $b$, равны $\alpha$ и $\beta$. Мы знаем, что $\alpha + \beta = 180^\circ$. Одна из прямых-биссектрис делит угол $\alpha$ пополам, а другая — угол $\beta$ пополам. Угол между этими биссектрисами будет равен сумме половин углов $\alpha$ и $\beta$:

$\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

Следовательно, искомое геометрическое место точек — это две взаимно перпендикулярные прямые, которые являются биссектрисами углов, образованных данными пересекающимися прямыми.

Ответ: Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, — это пара взаимно перпендикулярных прямых, которые являются биссектрисами углов, образованных данными прямыми.