Номер 274, страница 171 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

274. Постройте треугольник ABC по стороне $b$, высоте $h_a$ и медиане $m_a$, проведенным к стороне $a$.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. В нём даны сторона $AC = b$, высота $AH = h_a$ (где $H$ — её основание на прямой $BC$) и медиана $AM = m_a$ (где $M$ — середина стороны $BC$).

Рассмотрим треугольник $AHM$. Так как $AH$ — высота, то $\angle AHM = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $AHM$ является прямоугольным. В этом треугольнике нам известны катет $AH = h_a$ и гипотенуза $AM = m_a$. По катету и гипотенузе прямоугольный треугольник можно построить.

Построив треугольник $AHM$, мы определим положение вершины $A$, а также прямой $HM$, на которой лежит сторона $BC$ искомого треугольника.

Вершина $C$ треугольника $ABC$ должна лежать на прямой $HM$ и одновременно находиться на расстоянии $b$ от вершины $A$. Следовательно, точка $C$ является точкой пересечения прямой $HM$ и окружности с центром в $A$ и радиусом $b$.

Вершина $B$ также лежит на прямой $HM$. Поскольку $M$ — середина стороны $BC$, точка $B$ должна быть симметрична точке $C$ относительно точки $M$. Это позволяет однозначно найти положение точки $B$.

Построение

1. Построим прямоугольный треугольник $AHM$ по катету $h_a$ и гипотенузе $m_a$. Для этого:
   • Проведем произвольную прямую $p$. Отметим на ней точку $H$.
   • Через точку $H$ проведем прямую $q$, перпендикулярную прямой $p$.
   • На прямой $q$ отложим отрезок $AH = h_a$. Получим вершину $A$.
   • Из точки $A$ как из центра проведем окружность радиусом $m_a$. Точка ее пересечения с прямой $p$ будет точкой $M$.
2. Из точки $A$ как из центра проведем окружность радиусом $b$. Точка (или одна из точек) ее пересечения с прямой $p$ будет вершиной $C$.
3. На прямой $p$ от точки $M$ отложим отрезок $MB$, равный отрезку $MC$, в сторону, противоположную той, где лежит точка $C$. Получим вершину $B$.
4. Соединим точки $A, B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$:

• Сторона $AC = b$, так как точка $C$ по построению лежит на окружности с центром в $A$ и радиусом $b$.
• Высота, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, есть перпендикуляр $AH$ к прямой $p$, на которой лежит $BC$. Длина $AH$ по построению равна $h_a$.
• Отрезок $AM$ по построению равен $m_a$. Так как точка $B$ построена так, что $M$ является серединой отрезка $BC$, то $AM$ является медианой треугольника, проведенной к стороне $BC$.

Следовательно, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение не при любых заданных отрезках $b, h_a, m_a$.

1. На первом шаге построение треугольника $AHM$ возможно только в том случае, если гипотенуза $m_a$ не меньше катета $h_a$, то есть должно выполняться условие $m_a \ge h_a$.

2. На втором шаге построение точки $C$ возможно, если окружность с центром $A$ и радиусом $b$ пересекает прямую $p$. Расстояние от точки $A$ до прямой $p$ равно $h_a$, поэтому должно выполняться условие $b \ge h_a$.

Таким образом, задача имеет решение тогда и только тогда, когда одновременно выполняются неравенства $m_a \ge h_a$ и $b \ge h_a$.

Если $m_a > h_a$ и $b > h_a$, и при этом $b \neq m_a$, то задача, как правило, имеет два неконгруэнтных решения (так как окружность радиуса $b$ пересечет прямую $p$ в двух точках $C_1$ и $C_2$, симметричных относительно $H$, что приведет к двум разным треугольникам). В случаях, когда $m_a = h_a$ или $b = h_a$, или $b = m_a$, решение будет единственным.

Ответ: Построение выполняется на основе вспомогательного прямоугольного треугольника $AHM$ (по катету $h_a$ и гипотенузе $m_a$), который позволяет найти вершину $A$ и прямую, содержащую сторону $BC$. Затем на этой прямой находятся вершины $C$ (на расстоянии $b$ от $A$) и $B$ (симметрично $C$ относительно середины $M$).