Номер 270, страница 171 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

270. Изобразите угол $\alpha$. Постройте угол $\beta$, если известно, что $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Изобразите угол α.

Сначала начертим произвольный острый угол $ \alpha $. Для этого проведем два луча, например $ OA $ и $ OB $, из одной общей точки $ O $. Угол, образованный этими лучами, $ \angle AOB $, и будет заданным углом $ \alpha $.

Постройте угол β, если известно, что α + β = 90°.

Условие $ \alpha + \beta = 90^\circ $ означает, что углы $ \alpha $ и $ \beta $ являются комплементарными, то есть дополняют друг друга до прямого угла. Это значит, что $ \beta = 90^\circ - \alpha $. Чтобы построить угол $ \beta $, нужно из прямого угла вычесть угол $ \alpha $. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки и состоит из следующих шагов:

1. Построение прямого угла. Начертим луч $ PM $. В его начале, точке $ P $, построим перпендикулярный луч $ PK $. Для этого можно провести окружность с центром в $ P $, отметить точки пересечения с прямой, содержащей луч $ PM $, и из этих точек провести две дуги одинакового радиуса до их пересечения. Соединив точку $ P $ с точкой пересечения дуг, получим луч $ PK $. Таким образом, мы построили прямой угол $ \angle KPM = 90^\circ $.

2. Копирование угла $ \alpha $. Теперь необходимо отложить угол, равный $ \alpha $, внутри построенного прямого угла от одной из его сторон, например, от луча $ PM $. Этот процесс выполняется так:

   • С центром в вершине $ O $ угла $ \alpha $ проведем дугу произвольного радиуса $ r $, которая пересечет его стороны $ OA $ и $ OB $ в точках $ C $ и $ D $.

   • Не меняя раствор циркуля ($ r $), установим его ножку в вершину $ P $ прямого угла и проведем такую же дугу. Она пересечет сторону $ PM $ в точке $ Q $.

   • С помощью циркуля измерим расстояние между точками $ C $ и $ D $ (длину хорды).

   • Установим ножку циркуля в точку $ Q $ и проведем дугу с радиусом, равным расстоянию $ CD $, так, чтобы она пересекла дугу, проведенную из точки $ P $. Точку пересечения дуг обозначим $ R $.

   • Проведем луч $ PR $. По построению, угол $ \angle RPM $ равен данному углу $ \alpha $, то есть $ \angle RPM = \alpha $.

3. Нахождение угла $ \beta $. Построенный луч $ PR $ разделил прямой угол $ \angle KPM $ на два смежных угла: $ \angle RPM = \alpha $ и $ \angle KPR $. Так как их сумма составляет $ 90^\circ $, то угол $ \angle KPR $ и является искомым углом $ \beta $.

   $ \beta = \angle KPR = \angle KPM - \angle RPM = 90^\circ - \alpha $.

Ответ: Искомый угол $ \beta $ строится путем построения прямого угла и последующего вычитания из него угла $ \alpha $. В результате описанного выше построения угол $ \beta $ — это угол $ \angle KPR $.