Номер 264, страница 167 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

264. Постройте угол, равный $\frac{3}{4}$ данного угла.

Для построения угла, равного $ \frac{3}{4} $ данного угла, необходимо выполнить последовательность геометрических построений с помощью циркуля и линейки без делений. Пусть нам дан произвольный угол $ \angle AOB $ с вершиной в точке $O$.

Построение

1. Построение биссектрисы угла $ \angle AOB $ (деление угла пополам).

   Из вершины угла $O$ как из центра проводим дугу окружности произвольного радиуса $r$ так, чтобы она пересекла обе стороны угла. Обозначим точки пересечения как $C$ на луче $OA$ и $D$ на луче $OB$.

   Затем из точек $C$ и $D$ проводим две дуги одинакового радиуса (радиус должен быть больше половины длины дуги $CD$) так, чтобы они пересеклись внутри угла. Обозначим точку их пересечения как $E$.

   Проводим луч $OE$. Этот луч является биссектрисой угла $ \angle AOB $. Таким образом, мы разделили исходный угол на два равных угла:

   $ \angle AOE = \angle EOB = \frac{1}{2} \angle AOB $.

2. Построение биссектрисы угла $ \angle AOE $ (деление половины угла еще раз пополам).

   Теперь повторим процедуру построения биссектрисы для угла $ \angle AOE $. Первая дуга, проведенная из центра $O$, уже пересекает стороны этого угла в точках $C$ и $F$ (где $F$ - точка пересечения луча $OE$ с дугой).

   Из точек $C$ и $F$ проводим две дуги одинакового радиуса до их пересечения внутри угла $ \angle AOE $. Обозначим точку их пересечения как $G$.

   Проводим луч $OG$. Этот луч является биссектрисой угла $ \angle AOE $. Таким образом, мы получили два новых равных угла:

   $ \angle AOG = \angle GOE = \frac{1}{2} \angle AOE = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} \angle AOB) = \frac{1}{4} \angle AOB $.

3. Формирование искомого угла.

   В результате построений исходный угол $ \angle AOB $ разделен лучами $OE$ и $OG$ на три части: $ \angle AOG $, $ \angle GOE $ и $ \angle EOB $.

   Мы знаем, что $ \angle GOE = \frac{1}{4} \angle AOB $ и $ \angle EOB = \frac{1}{2} \angle AOB $.

   Искомый угол, равный $ \frac{3}{4} \angle AOB $, является суммой углов $ \angle GOE $ и $ \angle EOB $. Этим углом является $ \angle GOB $.

   Проверим его величину:

   $ \angle GOB = \angle GOE + \angle EOB = \frac{1}{4} \angle AOB + \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{4} \angle AOB + \frac{2}{4} \angle AOB = \frac{3}{4} \angle AOB $.

Таким образом, угол $ \angle GOB $ является искомым углом.

Ответ: Чтобы построить угол, равный $ \frac{3}{4} $ данного угла $ \angle AOB $, следует: 1. Построить биссектрису $OE$ угла $ \angle AOB $. 2. Построить биссектрису $OG$ одного из полученных углов, например $ \angle AOE $. 3. Угол $ \angle GOB $, который является суммой углов $ \angle GOE $ и $ \angle EOB $, будет искомым, так как его величина составляет $ \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} $ от величины исходного угла.