Номер 260, страница 164 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

260. Изобразите два неравных угла. Постройте угол, равный:

а) сумме данных углов;

б) разности данных углов.

Сначала изобразим два произвольных неравных угла. Обозначим их $\angle 1$ и $\angle 2$. Для определённости предположим, что градусная мера угла $\angle 1$ больше градусной меры угла $\angle 2$.

а) сумме данных углов

Чтобы построить угол, равный сумме углов $\angle 1$ и $\angle 2$, воспользуемся циркулем и линейкой. Алгоритм построения следующий:

1. Начертим произвольный луч $OM$. Это будет одна из сторон искомого угла.
2. Построим угол, равный $\angle 1$. Для этого с центром в вершине угла $\angle 1$ проведём дугу окружности произвольного радиуса $r$, которая пересечёт стороны угла в точках $A$ и $B$.
3. С центром в точке $O$ (начале луча $OM$) проведём дугу того же радиуса $r$, которая пересечёт луч $OM$ в точке $P$.
4. Измерим циркулем расстояние $AB$. С центром в точке $P$ проведём дугу радиусом $AB$, которая пересечёт дугу, построенную в предыдущем шаге, в точке $K$.
5. Проведём луч $OK$. Построенный угол $\angle MOK$ равен данному углу $\angle 1$.
6. Теперь к построенному углу $\angle MOK$ добавим угол $\angle 2$. От луча $OK$ отложим угол, равный $\angle 2$. Для этого с центром в вершине угла $\angle 2$ проведём дугу тем же радиусом $r$, которая пересечёт его стороны в точках $C$ и $D$.
7. Измерим циркулем расстояние $CD$. С центром в точке $K$ проведём дугу радиусом $CD$, которая пересечёт дугу с центром в $O$ в новой точке $L$. Точка $L$ должна лежать так, чтобы луч $OK$ оказался между лучами $OM$ и $OL$.
8. Проведём луч $OL$.

В результате мы получили угол $\angle MOL$. Его величина равна сумме величин углов $\angle MOK$ и $\angle KOL$, то есть $\angle MOL = \angle 1 + \angle 2$.

Ответ: Построенный угол $\angle MOL$ является искомым углом, равным сумме данных углов.

б) разности данных углов

Для построения угла, равного разности углов $\angle 1$ и $\angle 2$ (где $\angle 1 > \angle 2$), выполним следующие действия:

1. Начертим произвольный луч $OM$.
2. Построим угол $\angle MOK$, равный большему углу $\angle 1$. Построение выполняется аналогично шагам 2-5 из предыдущего пункта.
3. Теперь внутри построенного угла $\angle MOK$ отложим угол, равный меньшему углу $\angle 2$, так, чтобы одной из его сторон был луч $OM$. Для этого с центром в вершине угла $\angle 2$ проведём дугу тем же радиусом $r$, что и ранее, которая пересечёт его стороны в точках $C$ и $D$.
4. Измерим циркулем расстояние $CD$. С центром в точке $P$ (точка пересечения дуги с центром в $O$ и луча $OM$) проведём дугу радиусом $CD$. Эта дуга пересечёт дугу с центром в $O$ в точке $L$. Точка $L$ должна лежать внутри угла $\angle MOK$.
5. Проведём луч $OL$. Построенный угол $\angle MOL$ равен данному углу $\angle 2$.

Искомый угол — это угол $\angle LOK$. Его величина равна разности величин углов $\angle MOK$ и $\angle MOL$, то есть $\angle LOK = \angle 1 - \angle 2$.

Ответ: Построенный угол $\angle LOK$ является искомым углом, равным разности данных углов.