Номер 4, страница 161 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

4. Найдите точки $L$ и $T$ пересечения построенной окружности и прямой $AN$.

Для решения задачи введем систему координат. Пусть левый нижний угол сетки будет началом координат $(0, 0)$, а шаг сетки равен 1. Тогда координаты заданных точек будут следующими: $A(4, 1)$, $B(1, 2)$, $C(2, 4)$, $M(4, 6)$, $K(1, 9)$, $N(5, 9)$.

В условии говорится о "построенной окружности". Поскольку предыдущие задания отсутствуют, определим эту окружность на основе данных точек. Проверим, не является ли точка $M$ центром окружности, проходящей через некоторые другие точки. Найдем расстояния от точки $M$ до точек $A$ и $B$:

Расстояние $MA = \sqrt{(x_A - x_M)^2 + (y_A - y_M)^2} = \sqrt{(4-4)^2 + (1-6)^2} = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = \sqrt{25} = 5$.

Расстояние $MB = \sqrt{(x_B - x_M)^2 + (y_B - y_M)^2} = \sqrt{(1-4)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Так как расстояния $MA$ и $MB$ равны, можно с большой долей уверенности предположить, что "построенная окружность" — это окружность с центром в точке $M(4, 6)$ и радиусом $R=5$.

Уравнение этой окружности имеет вид: $(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 5^2$, или $(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 25$.

Далее найдем уравнение прямой $AN$, проходящей через точки $A(4, 1)$ и $N(5, 9)$. Сначала определим угловой коэффициент (наклон) прямой $k$:

$k = \frac{y_N - y_A}{x_N - x_A} = \frac{9 - 1}{5 - 4} = \frac{8}{1} = 8$.

Теперь, используя уравнение прямой с угловым коэффициентом $y - y_0 = k(x - x_0)$ и точку $A(4, 1)$, получим: $y - 1 = 8(x - 4)$, откуда $y = 8x - 31$.

Чтобы найти точки пересечения $L$ и $T$, решим систему уравнений, состоящую из уравнения окружности $(x-4)^2 + (y-6)^2 = 25$ и уравнения прямой $y = 8x - 31$. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$(x-4)^2 + (8x - 31 - 6)^2 = 25$

$(x-4)^2 + (8x - 37)^2 = 25$

Раскроем скобки: $(x^2 - 8x + 16) + (64x^2 - 592x + 1369) = 25$.

Приведем подобные члены: $65x^2 - 600x + 1385 = 25$, что дает $65x^2 - 600x + 1360 = 0$.

Разделим все уравнение на 5 для упрощения: $13x^2 - 120x + 272 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-120)^2 - 4 \cdot 13 \cdot 272 = 14400 - 14144 = 256$.

Корни уравнения для $x$ находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{120 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 13} = \frac{120 \pm 16}{26}$.

Получаем два значения для $x$: $x_1 = \frac{120 + 16}{26} = \frac{136}{26} = \frac{68}{13}$ и $x_2 = \frac{120 - 16}{26} = \frac{104}{26} = 4$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$ из уравнения прямой $y = 8x - 31$.

Для $x_1 = \frac{68}{13}$ получаем $y_1 = 8 \left(\frac{68}{13}\right) - 31 = \frac{544}{13} - \frac{403}{13} = \frac{141}{13}$.

Для $x_2 = 4$ получаем $y_2 = 8(4) - 31 = 32 - 31 = 1$.

Таким образом, точки пересечения окружности и прямой $AN$ — это $T(4, 1)$ (что совпадает с точкой $A$) и $L(\frac{68}{13}, \frac{141}{13})$.

Ответ: Точки пересечения $L$ и $T$ имеют координаты $(4, 1)$ и $(\frac{68}{13}, \frac{141}{13})$.