Номер 4, страница 156 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

4. $\angle C = \angle M = 90^\circ$. Найдите длину отрезка $MB$.

a) $A$, $B$, $C$, $M$, $30^\circ$, $4$, $?$

б) $A$, $C$, $B$, $M$, $8$, $60^\circ$, $?$

в) $A$, $C$, $B$, $M$, $30^\circ$, $12$, $M?$

а)

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90°$. По условию $\angle A = 30°$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому $\angle B = 180° - 90° - 30° = 60°$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CMB$, в котором $\angle CMB = 90°$ (так как $CM$ — высота). Мы знаем, что $\angle B = 60°$. Тогда третий угол этого треугольника $\angle MCB = 180° - 90° - 60° = 30°$.

В прямоугольном треугольнике $CMB$ катет $MB$ лежит напротив угла в $30°$ ($\angle MCB$). По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30°$, равен половине гипотенузы. Гипотенузой в треугольнике $CMB$ является сторона $BC$.

Следовательно, $MB = \frac{BC}{2}$. По условию $BC = 4$, значит $MB = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: 2

б)

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC$, в котором $\angle AMC = 90°$ (так как $CM$ — высота). По условию даны гипотенуза $AC = 8$ и угол $\angle ACM = 60°$.

Найдем угол $A$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике $AMC$ равна $90°$, поэтому $\angle A = 90° - \angle ACM = 90° - 60° = 30°$.

Теперь рассмотрим большой прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C = 90°$). Мы знаем, что $\angle A = 30°$. Тогда $\angle B = 90° - \angle A = 90° - 30° = 60°$.

В прямоугольном треугольнике $AMC$ найдем длину высоты $CM$. $CM$ является катетом, прилежащим к углу $\angle ACM$. Используем косинус: $CM = AC \cdot \cos(\angle ACM) = 8 \cdot \cos(60°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CMB$ ($\angle CMB = 90°$). В нем известен катет $CM = 4$ и угол $\angle B = 60°$. Катет $MB$ является прилежащим к углу $B$, а катет $CM$ - противолежащим. Используем тангенс: $\tan(\angle B) = \frac{CM}{MB}$.

Отсюда $MB = \frac{CM}{\tan(\angle B)} = \frac{4}{\tan(60°)} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

в)

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC$, в котором $\angle AMC = 90°$ (так как $CM$ — высота). По условию даны $\angle A = 30°$ и длина катета $AM = 12$.

Найдем длину высоты $CM$, которая является вторым катетом в треугольнике $AMC$. Используем тангенс угла $A$: $\tan(\angle A) = \frac{CM}{AM}$.

$CM = AM \cdot \tan(\angle A) = 12 \cdot \tan(30°) = 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ высота $CM$, проведенная к гипотенузе, связана с отрезками гипотенузы $AM$ и $MB$ соотношением $CM^2 = AM \cdot MB$. Это свойство следует из подобия треугольников $AMC$ и $CMB$.

Подставим известные значения в формулу:

$(4\sqrt{3})^2 = 12 \cdot MB$

$16 \cdot 3 = 12 \cdot MB$

$48 = 12 \cdot MB$

$MB = \frac{48}{12} = 4$.

Ответ: 4