Номер 5, страница 156 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

5. $AB = BC$, $AK$ — биссектриса треугольника $ABC$. Найдите угол $KAH$.

а) б) в)

а)

1. Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как $AB = BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $∠BAC = ∠BCA$.

2. Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Найдем углы при основании $AC$:

$∠BAC = ∠BCA = (180° - ∠B) / 2 = (180° - 52°) / 2 = 128° / 2 = 64°$.

3. $AK$ — биссектриса угла $∠BAC$, поэтому она делит его пополам:

$∠KAC = ∠BAC / 2 = 64° / 2 = 32°$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$ (поскольку $AH$ — высота, $∠AHC = 90°$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$. Найдем угол $∠HAC$:

$∠HAC = 90° - ∠C = 90° - 64° = 26°$.

5. Искомый угол $∠KAH$ — это разность углов $∠KAC$ и $∠HAC$:

$∠KAH = ∠KAC - ∠HAC = 32° - 26° = 6°$.

Ответ: 6°

б)

1. Треугольник $ABC$ является равнобедренным ($AB = BC$), поэтому $∠BAC = ∠BCA$.

2. $AK$ — биссектриса, поэтому $∠BAC = 2 \cdot ∠KAC$. Обозначим $∠KAC = x$, тогда $∠BAC = 2x$ и $∠BCA = 2x$.

3. Рассмотрим треугольник $AKC$. Сумма его углов равна $180°$.

$∠KAC + ∠ACK + ∠AKC = 180°$.

Подставим известные значения и переменные:

$x + 2x + 56° = 180°$.

$3x = 180° - 56°$.

$3x = 124°$.

$x = 124° / 3$.

Итак, $∠KAC = 124°/3$. Угол $∠C = 2x = 2 \cdot 124°/3 = 248°/3$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$ ($∠AHC = 90°$). Найдем угол $∠HAC$:

$∠HAC = 90° - ∠C = 90° - 248°/3 = (270° - 248°)/3 = 22°/3$.

5. Найдем искомый угол $∠KAH$ как разность углов $∠KAC$ и $∠HAC$:

$∠KAH = ∠KAC - ∠HAC = 124°/3 - 22°/3 = 102°/3 = 34°$.

Ответ: 34°

в)

1. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) углы при основании равны. Так как $∠C = 37°$, то $∠BAC = 37°$.

2. Найдем угол при вершине $B$: $∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - (37° + 37°) = 180° - 74° = 106°$.

3. Поскольку угол $B$ тупой, высота $AH$, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, падает на продолжение этой стороны.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$ ($∠AHC = 90°$). Найдем угол $∠HAC$:

$∠HAC = 90° - ∠ACH = 90° - 37° = 53°$.

5. $AK$ — биссектриса угла $∠BAC$, поэтому:

$∠KAC = ∠BAC / 2 = 37° / 2 = 18.5°$.

6. Искомый угол $∠KAH$ равен разности углов $∠HAC$ и $∠KAC$:

$∠KAH = ∠HAC - ∠KAC = 53° - 18.5° = 34.5°$.

Ответ: 34.5°