Номер 2, страница 156 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

2. По данным на рисунках найдите наибольший угол треугольника ABC.

а) В треугольнике ABC: $\angle A = 90^\circ$, $\angle B = 2x$, $\angle C = x$.

б) В треугольнике ABC: $\angle A = 7x$, $\angle B = 8x$, $\angle C = 45^\circ$.

в) В треугольнике ABC: $\angle B = 5x$, $\angle C = 2x$. Стороны $AB$ и $BC$ отмечены как равные.

а)

Треугольник $ABC$, изображенный на рисунке, является прямоугольным, так как угол $A$ отмечен квадратом, что обозначает прямой угол. Таким образом, $\angle A = 90^\circ$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для прямоугольного треугольника сумма двух острых углов равна $90^\circ$.

По условию, $\angle B = 2x$ и $\angle C = x$.

Составим уравнение, используя свойство о сумме острых углов прямоугольного треугольника:

$\angle B + \angle C = 90^\circ$

$2x + x = 90^\circ$

$3x = 90^\circ$

$x = \frac{90^\circ}{3}$

$x = 30^\circ$

Теперь найдем градусную меру каждого угла:

$\angle A = 90^\circ$

$\angle C = x = 30^\circ$

$\angle B = 2x = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$

Сравнив углы ($90^\circ > 60^\circ > 30^\circ$), видим, что наибольший угол — это $\angle A$.

Ответ: $90^\circ$.

б)

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. В треугольнике $ABC$ нам даны углы $\angle A = 7x$, $\angle B = 8x$ и $\angle C = 45^\circ$.

Составим уравнение, используя теорему о сумме углов треугольника:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$7x + 8x + 45^\circ = 180^\circ$

$15x = 180^\circ - 45^\circ$

$15x = 135^\circ$

$x = \frac{135^\circ}{15}$

$x = 9^\circ$

Теперь найдем градусную меру каждого угла:

$\angle A = 7x = 7 \cdot 9^\circ = 63^\circ$

$\angle B = 8x = 8 \cdot 9^\circ = 72^\circ$

$\angle C = 45^\circ$

Сравнив углы ($72^\circ > 63^\circ > 45^\circ$), видим, что наибольший угол — это $\angle B$.

Ответ: $72^\circ$.

в)

На рисунке стороны $AB$ и $BC$ отмечены одинаковыми штрихами, что означает их равенство ($AB = BC$). Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием является сторона $AC$, значит, углы при основании $\angle A$ и $\angle C$ равны: $\angle A = \angle C$.

По условию, $\angle C = 2x$ и $\angle B = 5x$. Значит, $\angle A$ также равен $2x$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Составим уравнение:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$2x + 5x + 2x = 180^\circ$

$9x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{9}$

$x = 20^\circ$

Теперь найдем градусную меру каждого угла:

$\angle A = 2x = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$

$\angle C = 2x = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$

$\angle B = 5x = 5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$

Сравнив углы ($100^\circ > 40^\circ$), видим, что наибольший угол — это $\angle B$.

Ответ: $100^\circ$.