Номер 3, страница 155 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Докажите, что $\angle ABC$ меньше $\angle ADC$.

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся теоремой о внешнем угле треугольника. Теорема гласит, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

1. Проведем луч из вершины $A$ через точку $D$ до пересечения со стороной $BC$ в точке $E$.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle ABE$. Угол $\angle AEC$ является для него внешним углом при вершине $E$, так как он смежный с внутренним углом $\angle AEB$. Согласно теореме о внешнем угле:

$\angle AEC > \angle ABE$

Угол $\angle ABE$ — это тот же самый угол, что и $\angle ABC$. Следовательно, мы получаем первое неравенство:

$\angle AEC > \angle ABC$

3. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle CDE$. Так как точки $A, D, E$ лежат на одной прямой, угол $\angle ADC$ является внешним углом для $\triangle CDE$ при вершине $D$. Он смежный с внутренним углом $\angle CDE$. По той же теореме о внешнем угле:

$\angle ADC > \angle DCE$ и $\angle ADC > \angle CED$

Нас интересует второе из этих неравенств: $\angle ADC > \angle CED$. Угол $\angle CED$ — это тот же самый угол, что и $\angle AEC$ (так как лучи $EA$ и $ED$ совпадают, и луч $EC$ — общий). Таким образом, получаем второе неравенство:

$\angle ADC > \angle AEC$

4. Теперь у нас есть система из двух неравенств:

1) $\angle AEC > \angle ABC$

2) $\angle ADC > \angle AEC$

Объединяя их, получаем: $\angle ADC > \angle AEC > \angle ABC$.

Отсюда следует, что $\angle ADC > \angle ABC$, или, что эквивалентно, $\angle ABC < \angle ADC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.