Номер 254, страница 152 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

254*. При помощи линейки с параллельными краями разделите данный угол пополам.

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$ и сторонами (лучами) $a$ и $b$. Пусть ширина линейки с параллельными краями постоянна и равна $h$.

Алгоритм построения биссектрисы угла:

1. Приложите один край линейки к лучу $a$ и проведите прямую $a_1$ вдоль другого края линейки (внутри угла). По построению, прямая $a_1$ будет параллельна лучу $a$ ($a_1 \parallel a$) и находиться от него на расстоянии $h$.
2. Аналогичным образом приложите один край линейки к лучу $b$ и проведите прямую $b_1$ вдоль другого края (внутри угла). Прямая $b_1$ будет параллельна лучу $b$ ($b_1 \parallel b$) и также будет находиться от него на расстоянии $h$.
3. Прямые $a_1$ и $b_1$ пересекутся в некоторой точке $M$, лежащей внутри угла.
4. Проведите луч $OM$, соединив вершину угла $O$ с точкой пересечения $M$.

Построенный луч $OM$ является биссектрисой исходного угла. Приведем доказательство этого факта.

Пусть прямая $b_1$ (параллельная лучу $b$) пересекает луч $a$ в точке $A$. Пусть прямая $a_1$ (параллельная лучу $a$) пересекает луч $b$ в точке $B$. Рассмотрим получившийся четырехугольник $OAMB$.

В этом четырехугольнике сторона $AM$ лежит на прямой $b_1$, а сторона $OB$ — на луче $b$. Так как по построению $b_1 \parallel b$, то и отрезки $AM \parallel OB$.

Аналогично, сторона $BM$ лежит на прямой $a_1$, а сторона $OA$ — на луче $a$. Так как $a_1 \parallel a$, то и отрезки $BM \parallel OA$.

Поскольку противолежащие стороны четырехугольника $OAMB$ попарно параллельны, то $OAMB$ является параллелограммом по определению.

Теперь докажем, что этот параллелограмм является ромбом. Для этого достаточно показать, что его смежные стороны, выходящие из вершины $O$, равны, то есть $OA = OB$.

Расстояние между параллельными прямыми $a$ и $a_1$ равно $h$. Это расстояние является высотой параллелограмма, опущенной из вершины $B$ на сторону $OA$. Пусть величина данного угла $\angle AOB = \alpha$. Тогда, рассматривая высоту, можно записать: $h = OB \cdot \sin(\alpha)$.

Расстояние между параллельными прямыми $b$ и $b_1$ также равно $h$. Это расстояние является высотой параллелограмма, опущенной из вершины $A$ на сторону $OB$. Соответственно, $h = OA \cdot \sin(\alpha)$.

Приравнивая полученные выражения для $h$, имеем:
$OA \cdot \sin(\alpha) = OB \cdot \sin(\alpha)$

Так как для неразвернутого угла ($\alpha \neq 180^\circ$) $\sin(\alpha) \neq 0$, мы можем разделить обе части равенства на $\sin(\alpha)$, что дает нам $OA = OB$.

Таким образом, $OAMB$ — это параллелограмм с равными смежными сторонами, следовательно, $OAMB$ — ромб.

По известному свойству ромба, его диагональ является биссектрисой угла, из вершины которого она проведена. Значит, диагональ $OM$ делит угол $\angle AOB$ пополам.

Ответ: Чтобы разделить угол пополам, необходимо с помощью линейки провести две прямые, параллельные сторонам угла, на расстоянии ширины линейки внутри этого угла. Луч, соединяющий вершину угла с точкой пересечения этих двух прямых, и будет являться биссектрисой данного угла.