Номер 249, страница 152 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

249. Через вершину $B$ равнобедренного треугольника $ABC$ проведена прямая $b$, параллельная основанию $AC$. Найдите расстояние между прямой $b$ и прямой $AC$, если известно, что $\angle ABC = 120^\circ$, $AB + BC = 64$ см.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным и угол при вершине $\angle ABC = 120^\circ$, его боковыми сторонами являются $AB$ и $BC$, а основанием — $AC$. Следовательно, $AB = BC$.

По условию задачи, сумма длин боковых сторон $AB + BC = 64$ см. Так как эти стороны равны, мы можем найти длину каждой из них:
$2 \cdot AB = 64$ см
$AB = \frac{64}{2} = 32$ см.
Таким образом, $AB = BC = 32$ см.

Расстояние между двумя параллельными прямыми — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую. Прямая $b$ проходит через вершину $B$ и параллельна прямой $AC$. Следовательно, искомое расстояние равно длине высоты треугольника $ABC$, проведенной из вершины $B$ к основанию $AC$. Обозначим эту высоту как $BH$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является биссектрисой угла при вершине. Значит, $BH$ делит угол $\angle ABC$ пополам:
$\angle ABH = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (так как $BH$ — высота, то $\angle BHA = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны:
- гипотенуза $AB = 32$ см,
- острый угол $\angle ABH = 60^\circ$.
Катет $BH$ является искомым расстоянием.

Найдем длину катета $BH$, используя тригонометрическую функцию косинуса, которая связывает прилежащий катет, гипотенузу и угол между ними:
$\cos(\angle ABH) = \frac{BH}{AB}$
Отсюда выразим $BH$:
$BH = AB \cdot \cos(\angle ABH)$
Подставим известные значения:
$BH = 32 \cdot \cos(60^\circ)$
Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$BH = 32 \cdot \frac{1}{2} = 16$ см.

Ответ: 16 см.