Номер 245, страница 148 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

245*. Зеленый газон имеет форму прямоугольника (рис. 283). Дорожка $AC$ образует угол $30^\circ$ со стороной $DC$, дорожка $DO$ проходит через середину дорожки $AC$. Дорожка $DK$ перпендикулярна дорожке $AC$, $KO = 8 \text{ м}$. Найдите длину декоративного заборчика, который огораживает треугольный участок $AOD$.

Рис. 283

Для того чтобы найти длину декоративного заборчика, необходимо вычислить периметр треугольника $AOD$. Периметр $P_{AOD}$ равен сумме длин его сторон: $P_{AOD} = AO + OD + AD$.

1. Анализ треугольника ADC и медианы DO.

По условию, газон имеет форму прямоугольника, следовательно, треугольник $ADC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$ ($∠ADC = 90°$). Дорожка $AC$ является гипотенузой этого треугольника. Угол, который дорожка $AC$ образует со стороной $DC$, равен $30°$, то есть $∠ACD = 30°$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$, поэтому $∠CAD = 90° - ∠ACD = 90° - 30° = 60°$. Точка $O$ — середина дорожки $AC$, значит, $DO$ является медианой, проведенной к гипотенузе в прямоугольном треугольнике $ADC$. По свойству медианы прямоугольного треугольника, она равна половине гипотенузы: $DO = AO = OC = \frac{1}{2}AC$.

2. Анализ треугольников DOC и DKO.

Рассмотрим треугольник $DOC$. Так как $DO = OC$, он является равнобедренным. Углы при основании $DC$ равны, следовательно, $∠ODC = ∠OCD = 30°$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому угол при вершине $O$ равен $∠DOC = 180° - (∠ODC + ∠OCD) = 180° - (30° + 30°) = 120°$. По условию, дорожка $DK$ перпендикулярна дорожке $AC$, значит $∠DKC = 90°$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DKC$. В нем $∠KDC = 90° - ∠KCD = 90° - 30° = 60°$. Теперь мы можем найти угол $KDO$: $∠KDO = ∠KDC - ∠ODC = 60° - 30° = 30°$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DKO$ ($∠DKO = 90°$). В нем нам известна сторона $KO = 8$ м и угол $∠KDO = 30°$. Найдем гипотенузу $DO$: $cos(∠KDO) = \frac{KO}{DO}$ $DO = \frac{KO}{cos(30°)} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{3}}$ м.

3. Анализ треугольника AOD и вычисление периметра.

Из свойства медианы мы знаем, что $AO = DO$. Следовательно, $AO = \frac{16}{\sqrt{3}}$ м. Найдем угол $AOD$. Углы $AOD$ и $DOC$ являются смежными, так как точки $A, O, C$ лежат на одной прямой. Их сумма равна $180°$: $∠AOD = 180° - ∠DOC = 180° - 120° = 60°$. Таким образом, в треугольнике $AOD$ две стороны равны ($AO = DO$) и угол между ними равен $60°$. Это означает, что треугольник $AOD$ является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны: $AD = AO = DO = \frac{16}{\sqrt{3}}$ м. Теперь найдем периметр треугольника $AOD$: $P_{AOD} = 3 \cdot AD = 3 \cdot \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{48}{\sqrt{3}}$ м. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $P_{AOD} = \frac{48 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3}$ м.

Ответ: $16\sqrt{3}$ м.