Номер 251, страница 152 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

251. В окружности с центром в точке $O$ и радиусом $8,1 \text{ см}$ проведены диаметры $AB$ и $CD$. Угол $\angle AOC = 60^\circ$. Докажите, что прямые $AD$ и $CB$ параллельны, и найдите расстояние между ними.

Докажите, что прямые AD и CB параллельны

Рассмотрим четырехугольник ACBD. Его диагонали AB и CD пересекаются в центре окружности O. Поскольку AB и CD являются диаметрами, точка O делит каждую из них пополам ($AO = OB = R$ и $CO = OD = R$, где R — радиус окружности). Четырехугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, ACBD — это параллелограмм. По свойству параллелограмма его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel CB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Прямые AD и CB параллельны, так как являются противоположными сторонами параллелограмма ACBD.

Найдите расстояние между ними

Расстояние между параллельными прямыми AD и CB — это длина перпендикуляра, проведенного от одной прямой к другой.

1. Рассмотрим треугольник AOC. Стороны AO и CO являются радиусами окружности, поэтому $AO = CO = 8,1$ см. Угол между ними по условию $\angle AOC = 60^\circ$. Треугольник с двумя равными сторонами и углом $60^\circ$ между ними является равносторонним. Таким образом, $\triangle AOC$ — равносторонний, и его третья сторона $AC = 8,1$ см, а все углы равны $60^\circ$, в частности $\angle OAC = 60^\circ$.

2. Рассмотрим треугольник AOD. Он является равнобедренным, так как $AO = OD = 8,1$ см (радиусы). Угол $\angle AOD$ смежный с углом $\angle AOC$, следовательно, $\angle AOD = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Углы при основании этого треугольника равны: $\angle OAD = \angle ODA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

3. Найдем угол $\angle CAD$ четырехугольника ACBD. Он равен сумме углов $\angle OAC$ и $\angle OAD$:
$\angle CAD = \angle OAC + \angle OAD = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$.

4. Поскольку ACBD — это параллелограмм, у которого есть прямой угол ($\angle CAD = 90^\circ$), то ACBD является прямоугольником. В прямоугольнике расстояние между парой параллельных сторон (в нашем случае AD и CB) равно длине двух других сторон (AC и DB).

Следовательно, искомое расстояние равно длине стороны AC.

Расстояние = $AC = 8,1$ см.

Ответ: 8,1 см.