Моделирование, страница 154 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Моделирование

Ребята нашли схему примерного определения ширины реки в походных условиях (рис. 292). Однако сама инструкция оказа-лась оборванной.

Помогите ребятам восстановить текст инструкции. Смоделируйте математическое решение этой практической задачи. Попробуйте применить данный метод на практике, определив, например, ширину беговой дорожки или школьного стадиона.

Встаньте лицом к дереву на

оложной стороне реки.

ерега реки десять шагов

ышек. Отмерьте от

Рис. 292

Восстановление текста инструкции

Для определения ширины реки в походных условиях, следуя схеме, необходимо выполнить следующие действия:

1. Выберите на противоположном берегу хорошо видимый неподвижный объект (ориентир), например, дерево. Обозначим его положение как точку $T$.
2. Встаньте на своем берегу точно напротив выбранного ориентира. Обозначим эту точку как $A$. Прямая $AT$ должна быть перпендикулярна берегу. Расстояние $AT$ — это искомая ширина реки.
3. Повернитесь на 90 градусов (влево или вправо) и пройдите вдоль берега на любое заранее определенное, удобное для вас расстояние. Воткните в землю колышек или положите заметный предмет. Обозначим эту точку как $C$.
4. Продолжайте идти в том же направлении еще столько же. То есть, пройдите расстояние $CB$, равное расстоянию $AC$. Обозначим конечную точку маршрута вдоль берега как $B$. Таким образом, точка $C$ является серединой отрезка $AB$.
5. В точке $B$ снова поверните на 90 градусов, но теперь в сторону от реки.
6. Двигайтесь по прямой $BD$ (перпендикулярно берегу), постоянно оглядываясь на колышек (точка $C$) и дерево (точка $T$). Остановитесь в тот момент, когда колышек и дерево окажутся на одной линии визирования. Обозначим эту точку как $D$.
7. Измерьте расстояние, которое вы прошли от берега, то есть длину отрезка $BD$. Эта длина и будет равна ширине реки.

Ответ: Восстановленная инструкция приведена в виде последовательности из 7 шагов.

Математическое решение (моделирование)

Этот метод основан на свойстве равенства прямоугольных треугольников. Рассмотрим два треугольника, которые мы построили: $\triangle ATC$ и $\triangle BDC$.

• Угол $\angle TAC$ является прямым ($\angle TAC = 90^\circ$), так как по условию мы стоим в точке $A$ прямо напротив объекта $T$ и движемся вдоль берега (перпендикулярно линии $AT$).
• Угол $\angle DBC$ также является прямым ($\angle DBC = 90^\circ$), так как в точке $B$ мы поворачиваем на 90 градусов от берега.
• Следовательно, оба треугольника — прямоугольные.
• Сторона $AC$ равна стороне $CB$ ($AC = CB$) по построению, так как мы отмерили одинаковые расстояния от точки $A$ до колышка $C$ и от колышка $C$ до точки $B$.
• Углы $\angle ACT$ и $\angle BCD$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением двух прямых линий ($AB$ и $TD$). Вертикальные углы всегда равны, следовательно, $\angle ACT = \angle BCD$.

Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника, у которых равен катет ($AC = CB$) и прилежащий к нему острый угол ($\angle ACT = \angle BCD$). По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, что для прямоугольных треугольников сводится к равенству по катету и прилежащему острому углу), треугольники $\triangle ATC$ и $\triangle BDC$ равны: $\triangle ATC \cong \triangle BDC$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Катет $AT$ в треугольнике $\triangle ATC$ лежит напротив угла $\angle ACT$. Катет $BD$ в треугольнике $\triangle BDC$ лежит напротив угла $\angle BCD$. Так как углы $\angle ACT$ и $\angle BCD$ равны, то и противолежащие им катеты равны.
Следовательно, $AT = BD$.

Таким образом, измерив на местности расстояние $BD$, мы находим искомую ширину реки $AT$.

Ответ: Ширина реки $AT$ равна измеренному на берегу расстоянию $BD$ ($AT = BD$) на основании равенства построенных прямоугольных треугольников $\triangle ATC$ и $\triangle BDC$ по второму признаку (по катету и прилежащему острому углу).