Номер 255, страница 152 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

255*. В тетради отметьте точки $A$, $B$ и $C$ (рис. 289). При помощи чертежного треугольника проведите через эти точки три попарно параллельные прямые так, чтобы расстояния от средней прямой до двух крайних были равны.

Рис. 289

Для решения этой задачи необходимо построить три попарно параллельные прямые, проходящие через точки A, B и C, причем одна из прямых (средняя) должна быть равноудалена от двух других (крайних).

Это условие равносильно тому, что любая прямая-секущая, пересекающая эти три параллельные прямые, будет делиться ими на два равных отрезка. Отсюда следует алгоритм построения: чтобы одна из прямых, например, проходящая через точку B, была средней, ее нужно провести параллельно прямой, соединяющей точки A и C, но не через саму точку B, а через точку, которая является серединой отрезка, образованного проекциями A и C на перпендикуляр к искомым прямым.

Более простой конструктивный способ основан на том, что если мы соединим две "крайние" точки, например A и C, отрезком, то средняя прямая (проходящая через B) должна пересечь этот отрезок в его середине. Таким образом, направление искомых параллельных прямых задается прямой, проходящей через "среднюю" точку (B) и середину отрезка, соединяющего две "крайние" точки (AC).

Так как любая из трех точек может быть "средней", существует три возможных решения задачи.

В этом случае прямые, проходящие через точки A и C, будут крайними. Чтобы прямая через точку B была равноудалена от них, необходимо выполнить следующее построение:

1. Соединить точки A и C отрезком.
2. Найти середину M этого отрезка. Для удобства введем систему координат с началом в левом нижнем углу сетки и шагом, равным стороне клетки. Тогда координаты точек: $A(0, 1)$, $B(5, 1)$, $C(2, 5)$. Координаты середины M отрезка AC вычисляются по формуле: $M = \left(\frac{x_A+x_C}{2}, \frac{y_A+y_C}{2}\right) = \left(\frac{0+2}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = (1, 3)$. Отмечаем эту точку.
3. Провести прямую через точки B и M. Это будет искомая средняя прямая.
4. С помощью чертежного угольника и линейки построить прямую, проходящую через точку A, параллельно прямой BM.
5. Аналогично построить прямую, проходящую через точку C, параллельно прямой BM.

Полученные три прямые попарно параллельны, проходят через заданные точки, и прямая, проходящая через B, равноудалена от двух других. Это следует из теоремы Фалеса, так как прямая AC является секущей, и по построению она делится средней прямой пополам в точке M.

Ответ: Построение, описанное выше, является решением задачи.

В этом случае крайними будут прямые, проходящие через точки B и C. Построение аналогично первому случаю:

1. Соединить точки B и C отрезком.
2. Найти середину N отрезка BC. Используя координаты точек $B(5, 1)$ и $C(2, 5)$, находим координаты точки N: $N = \left(\frac{x_B+x_C}{2}, \frac{y_B+y_C}{2}\right) = \left(\frac{5+2}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = (3.5, 3)$.
3. Провести прямую через точки A и N. Это будет средняя прямая.
4. Построить прямые через точки B и C, параллельные прямой AN, используя чертежный угольник.

Построенные прямые удовлетворяют условию задачи.

Ответ: Построение, описанное выше, является решением задачи.

В этом случае крайними будут прямые, проходящие через точки A и B. Построение выполняется по тому же принципу:

1. Соединить точки A и B отрезком.
2. Найти середину P отрезка AB. Используя координаты точек $A(0, 1)$ и $B(5, 1)$, находим координаты точки P: $P = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right) = \left(\frac{0+5}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (2.5, 1)$.
3. Провести прямую через точки C и P. Это будет средняя прямая.
4. Построить прямые через точки A и B, параллельные прямой CP, используя чертежный угольник.

Построенные прямые удовлетворяют условию задачи.

Ответ: Построение, описанное выше, является решением задачи.