Номер 250, страница 152 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

250. Через вершину $A$ равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$ проведена прямая $a$, параллельная боковой стороне $BC$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$, если расстояние между прямыми $a$ и $BC$ равно 19 см и $\angle BAC = 15^\circ$.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Это означает, что его боковые стороны равны ($AB = BC$), а углы при основании также равны.

Нам дан угол $\angle BAC = 15^\circ$. Следовательно, $\angle BCA = \angle BAC = 15^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Найдем угол при вершине $B$:

$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (15^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Через вершину $A$ проведена прямая $a$, параллельная стороне $BC$. Расстояние между этими параллельными прямыми равно 19 см. Расстояние между параллельными прямыми — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую. Поскольку прямая $a$ проходит через точку $A$, расстояние от точки $A$ до прямой, содержащей отрезок $BC$, равно 19 см.

Проведем высоту $AH$ из вершины $A$ к прямой $BC$. По определению, $AH \perp BC$, и длина этой высоты равна заданному расстоянию: $AH = 19$ см.

Так как угол $\angle ABC = 150^\circ$ является тупым, основание высоты $H$ будет лежать не на отрезке $BC$, а на его продолжении за точку $B$. Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник $AHB$.

Угол $\angle ABH$ является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Найдем величину угла $\angle ABH$:

$\angle ABH = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB$ ($\angle AHB = 90^\circ$). В этом треугольнике:

• Гипотенуза — это сторона $AB$, длину которой нам нужно найти.
• Катет $AH = 19$ см.
• Угол, противолежащий катету $AH$, равен $\angle ABH = 30^\circ$.

Воспользуемся определением синуса в прямоугольном треугольнике: синус угла есть отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}$

Подставим известные значения:

$\sin(30^\circ) = \frac{19}{AB}$

Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем уравнение:

$\frac{1}{2} = \frac{19}{AB}$

Из этого уравнения выражаем $AB$:

$AB = 19 \cdot 2 = 38$ см.

Поскольку $AB$ является боковой стороной равнобедренного треугольника $ABC$, ее длина равна 38 см.

Ответ: 38 см.