Номер 253, страница 152 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

253*. Докажите, что сумма расстояний от точки, взятой на основании равнобедренного треугольника, до прямых, содержащих его боковые стороны, равна высоте треугольника, проведенной к боковой стороне.

Пусть $\triangle ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Обозначим длину боковой стороны $b$.

Пусть $P$ — произвольная точка на основании $AC$. Расстояния от точки $P$ до прямых, содержащих боковые стороны $AB$ и $BC$, — это длины перпендикуляров, опущенных из $P$ на эти прямые. Обозначим их $PD$ и $PE$ соответственно, где $D$ лежит на прямой $AB$, а $E$ — на прямой $BC$. Таким образом, $PD \perp AB$ и $PE \perp BC$.

Пусть $AH$ — высота треугольника, проведенная из вершины $A$ к боковой стороне $BC$. Нам нужно доказать, что $PD + PE = AH$.

Для доказательства воспользуемся методом площадей. Соединим точку $P$ с вершиной $B$. Отрезок $BP$ разделяет $\triangle ABC$ на два треугольника: $\triangle APB$ и $\triangle CPB$. Площадь исходного треугольника равна сумме площадей этих двух треугольников:

$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle APB} + S_{\triangle CPB}$

Площадь $\triangle APB$ равна половине произведения его основания $AB$ на высоту $PD$:

$S_{\triangle APB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot PD$

Аналогично, площадь $\triangle CPB$ равна половине произведения его основания $BC$ на высоту $PE$:

$S_{\triangle CPB} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot PE$

Подставим эти выражения в формулу для площади $\triangle ABC$:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot PD + \frac{1}{2} \cdot BC \cdot PE$

Поскольку $AB = BC = b$, мы можем вынести общий множитель за скобки:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} b (PD + PE)$

С другой стороны, площадь треугольника $ABC$ можно выразить через основание $BC$ и высоту $AH$, проведенную к нему:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} b \cdot AH$

Теперь у нас есть два разных выражения для одной и той же площади. Приравняем их:

$\frac{1}{2} b (PD + PE) = \frac{1}{2} b \cdot AH$

Так как длина боковой стороны $b$ не равна нулю, мы можем разделить обе части равенства на $\frac{1}{2} b$. В результате получаем:

$PD + PE = AH$

Это и доказывает утверждение задачи. Сумма расстояний от точки на основании до боковых сторон равна высоте, проведенной к боковой стороне.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма расстояний от произвольной точки, взятой на основании равнобедренного треугольника, до прямых, содержащих его боковые стороны, равна высоте этого треугольника, проведенной к боковой стороне.