Номер 2, страница 155 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Задание 2

Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC$.

Расстояние от точки B до прямой AC — это длина перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую AC. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой H. Таким образом, искомое расстояние равно длине отрезка BH, где $BH \perp AC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC (угол $\angle BHC = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенузой является сторона BC, а катет BH — это искомое расстояние.

Из данных на рисунке определим необходимые величины:
1. Длина стороны BC. Точка K делит сторону BC на два отрезка: $BK = 8$ и $KC = 8$. Следовательно, длина всей стороны BC равна их сумме:
$BC = BK + KC = 8 + 8 = 16$.
2. Величина угла $\angle BCA$. На чертеже углы $\angle BAK$ и $\angle BCA$ отмечены одинаковыми символами (дуга с двумя поперечными штрихами). Это означает, что данные углы равны. Так как по условию $\angle BAK = 30^\circ$, то и $\angle BCA = 30^\circ$.

Теперь, зная гипотенузу $BC$ и угол $\angle BCA$ в прямоугольном треугольнике BHC, мы можем найти длину катета $BH$. Катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла:
$BH = BC \cdot \sin(\angle BCA)$
Подставляем известные значения:
$BH = 16 \cdot \sin(30^\circ)$

Значение синуса 30 градусов является табличной величиной: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
Вычисляем длину $BH$:
$BH = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$.

Этот же результат можно получить, используя свойство прямоугольного треугольника: катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В $\triangle BHC$ катет $BH$ лежит напротив угла $\angle BCA = 30^\circ$, поэтому его длина равна половине гипотенузы $BC$:
$BH = \frac{BC}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Ответ: 8.