Номер 1, страница 156 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

1. Найдите AC на рисунках а)—в).

а) $\angle B = 70^\circ$
$\angle C = 40^\circ$
$BC = 6$
$AC = ?$

б) $\angle A = 90^\circ$
$AB = 8$
$\angle B = 45^\circ$
$AC = ?$

в) $AC + BC = 24$
$\angle A = 35^\circ$
Внешний угол при вершине C $= 70^\circ$
$AC = ?$

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол $A$ в треугольнике $ABC$:
$ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 70^\circ - 40^\circ = 70^\circ $.
Поскольку $ \angle A = \angle B = 70^\circ $, то треугольник $ABC$ является равнобедренным (углы при основании равны). В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, также равны. Следовательно, $AC = BC$.
Так как по условию $BC = 6$, то и $AC = 6$.
Ответ: 6.

В треугольнике $ABC$ угол $A$ прямой, $ \angle A = 90^\circ $. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Найдем угол $C$:
$ \angle C = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $.
Поскольку $ \angle B = \angle C = 45^\circ $, то треугольник $ABC$ является равнобедренным. Это означает, что его катеты равны: $AC = AB$.
Так как по условию $AB = 8$, то $AC = 8$.
Ответ: 8.

Внутренний угол треугольника при вершине $C$ (угол $BCA$) и внешний угол при этой же вершине являются смежными, поэтому их сумма составляет $180^\circ$. Найдем $ \angle BCA $:
$ \angle BCA = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ $.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол $B$ в треугольнике $ABC$:
$ \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle BCA = 180^\circ - 35^\circ - 110^\circ = 35^\circ $.
Поскольку $ \angle A = \angle B = 35^\circ $, то треугольник $ABC$ является равнобедренным, и стороны, противолежащие этим углам, равны: $AC = BC$.
По условию задачи $AC + BC = 24$. Заменим $BC$ на $AC$ в этом выражении:
$ AC + AC = 24 $
$ 2 \cdot AC = 24 $
$ AC = \frac{24}{2} = 12 $.
Ответ: 12.