Геометрия 3D, страница 153 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Рис. 290

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок $KK_1$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, равный высоте призмы. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть $AA_1 = KK_1$ (рис. 291).

Рис. 291

Задача. Найдите высоту прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, если треугольник $ABC$ — равносторонний с периметром 48 см, а все боковые грани призмы — квадраты (см. рис. 291).

По условию задачи, призма $ABCA_1B_1C_1$ является прямой треугольной призмой. Ее основание, треугольник $ABC$, является равносторонним, а все боковые грани — квадратами.

Сначала найдем длину стороны основания. Периметр равностороннего треугольника $ABC$ равен 48 см. Так как у равностороннего треугольника все три стороны равны, мы можем найти длину одной стороны ($a$), разделив периметр на 3:
$a = AB = BC = CA = \frac{P_{ABC}}{3} = \frac{48}{3} = 16$ см.

Высотой прямой призмы является длина ее бокового ребра (в данном случае, $AA_1$, $BB_1$ или $CC_1$). По условию, боковые грани призмы (например, грань $ABB_1A_1$) являются квадратами. У квадрата все стороны равны, следовательно, длина бокового ребра $AA_1$ равна длине стороны основания $AB$.
Высота призмы $H = AA_1 = AB$.
Так как мы уже вычислили, что $AB = 16$ см, то высота призмы также равна 16 см.

Ответ: 16 см.