Номер 252, страница 152 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

252*. Объем прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $120$ дм$^3$, $AD = 5$ дм, $DC = 4$ дм (рис. 288). Найдите расстояние между прямыми $DC$ и $D_1C_1$.

Рис. 288

По условию, $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед. Это означает, что его основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ являются прямоугольниками и лежат в параллельных плоскостях, а боковые ребра ($AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$) перпендикулярны основаниям.

Прямые $DC$ и $D_1C_1$ являются соответствующими сторонами нижнего и верхнего оснований. Так как основания параллельны, то и прямые, лежащие в них, параллельны, то есть $DC \parallel D_1C_1$.

Расстояние между двумя параллельными прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Рассмотрим боковое ребро $DD_1$. Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Следовательно, $DD_1 \perp DC$. Аналогично, ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$, а значит, $DD_1 \perp D_1C_1$. Таким образом, отрезок $DD_1$ является общим перпендикуляром к прямым $DC$ и $D_1C_1$, и его длина есть искомое расстояние.

Длина ребра $DD_1$ является высотой параллелепипеда. Обозначим ее $h$. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:$V = S_{осн} \cdot h$где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

В основании лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AD=5$ дм и $DC=4$ дм. Его площадь равна:$S_{осн} = AD \cdot DC = 5 \cdot 4 = 20$ дм².

Высота параллелепипеда равна $h = DD_1$. Подставим известные значения в формулу объема:$V = S_{осн} \cdot DD_1$$120 = 20 \cdot DD_1$

Отсюда находим длину $DD_1$:$DD_1 = \frac{120}{20} = 6$ дм.

Таким образом, расстояние между прямыми $DC$ и $D_1C_1$ равно 6 дм.

Ответ: 6 дм.