Номер 247, страница 151 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

247. Две параллельные прямые пересекаются секущей в точках $A$ и $B$. Прямая $AB$ составляет с одной из параллельных прямых угол $30^\circ$. Расстояние между этими параллельными прямыми равно $8,5$ см. Найдите длину отрезка $AB$.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$, и секущая, которая пересекает прямую $a$ в точке $A$ и прямую $b$ в точке $B$. Отрезок $AB$ является частью этой секущей.

По условию, угол между секущей $AB$ и одной из параллельных прямых равен $30^{\circ}$. Пусть это будет угол, который секущая образует с прямой $a$.

Расстояние между параллельными прямыми — это длина перпендикуляра, проведенного от одной прямой к другой. Проведем из точки $B$ перпендикуляр $BH$ к прямой $a$. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между прямыми, то есть $BH = 8,5$ см.

В результате мы получили прямоугольный треугольник $\triangle AHB$, в котором:

• $\angle H = 90^{\circ}$ (так как $BH$ — перпендикуляр);
• $\angle HAB = 30^{\circ}$ (по условию);
• катет $BH = 8,5$ см (противолежащий катет для угла $30^{\circ}$);
• $AB$ — гипотенуза, длину которой нам нужно найти.

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы: $ \sin(\angle HAB) = \frac{BH}{AB} $

Подставим известные значения в формулу: $ \sin(30^{\circ}) = \frac{8,5}{AB} $

Так как значение $\sin(30^{\circ})$ равно $\frac{1}{2}$, получаем уравнение: $ \frac{1}{2} = \frac{8,5}{AB} $

Из этого уравнения находим длину гипотенузы $AB$: $ AB = 8,5 \cdot 2 = 17 $ см.

Также можно воспользоваться свойством прямоугольного треугольника: катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. В нашем случае катет $BH$ лежит напротив угла $\angle HAB = 30^{\circ}$, следовательно: $ BH = \frac{1}{2} AB $ $ 8,5 = \frac{1}{2} AB $ $ AB = 8,5 \cdot 2 = 17 $ см.

Ответ: 17 см.