Номер 241, страница 148 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

241. В прямоугольном треугольнике $ABC$ к гипотенузе $AB$ проведена медиана $CM$. Найдите угол между прямыми $CM$ и $AB$, если $BC = 7,5$ см, $AB = 15$ см.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Тогда $AB$ — гипотенуза, а $BC$ и $AC$ — катеты. По условию задачи, длина гипотенузы $AB = 15$ см, а длина катета $BC = 7,5$ см.

К гипотенузе $AB$ проведена медиана $CM$. По определению медианы, точка $M$ является серединой отрезка $AB$.

Воспользуемся свойством медианы в прямоугольном треугольнике: медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Найдем длину медианы $CM$:
$CM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 15 = 7,5$ см.

Поскольку $M$ — середина гипотенузы $AB$, то она делит гипотенузу на два равных отрезка $AM$ и $MB$. Найдем длину отрезка $MB$:
$MB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 15 = 7,5$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $CMB$. Мы знаем длины всех его трех сторон: $BC = 7,5$ см (по условию), $CM = 7,5$ см (вычислено выше), $MB = 7,5$ см (вычислено выше).

Так как все стороны треугольника $CMB$ равны ($BC = CM = MB$), то он является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, угол $\angle CMB = 60^\circ$.

Искомый угол между прямыми $CM$ и $AB$ — это угол, образованный при их пересечении в точке $M$. Это угол $\angle CMB$. Таким образом, угол между медианой $CM$ и гипотенузой $AB$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.