Номер 238, страница 148 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

238. Найдите отрезок или угол, обозначенные знаком вопроса (рис. 282). Ответ объясните.

а) $60^\circ$, $6$, $?$

б) $16$, $8$, $?$

в) $24$, $120^\circ$, $?$

г) $7$, $7$, $?$

Рис. 282

а)

Предположим, что на рисунке изображен прямоугольный треугольник, у которого из вершины с прямым углом проведена высота к гипотенузе. Пусть вершины треугольника A (верхняя), B (нижняя левая) и C (нижняя правая), а прямой угол находится в вершине A ($\angle BAC = 90^\circ$). AH — высота, проведенная к гипотенузе BC. Такое изображение является стандартным для задач на метрические соотношения в прямоугольном треугольнике.Из рисунка дано:

1. Сегмент гипотенузы $BH = 6$.
2. Угол $\angle CAH = 60^\circ$.
3. Искомая сторона — катет $AB$, обозначенный знаком вопроса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACH$ (угол $\angle AHC = 90^\circ$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Следовательно, угол $\angle C = 90^\circ - \angle CAH = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Теперь рассмотрим основной прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ (угол $\angle BAC = 90^\circ$). Сумма его острых углов также равна $90^\circ$. Так как мы нашли $\angle C = 30^\circ$, то угол $\angle B = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ (угол $\angle AHB = 90^\circ$). Мы знаем угол $\angle B = 60^\circ$ и прилежащий к нему катет $BH = 6$. Искомая сторона $AB$ является гипотенузой этого треугольника.Используем определение косинуса: $\cos(\angle B) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{AB}$.
Подставим известные значения:$ \cos(60^\circ) = \frac{6}{AB} $
Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем уравнение:$ \frac{1}{2} = \frac{6}{AB} $
Отсюда находим $AB$:$ AB = 6 \cdot 2 = 12 $.
Ответ: 12

б)

На рисунке изображен прямоугольный треугольник. Длина гипотенузы равна 16, а длина катета, противолежащего искомому углу, равна 8. Пусть искомый угол равен $\alpha$.
В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы.$ \sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $
Подставляя данные из задачи, получаем:$ \sin(\alpha) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} $
Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, — это $30^\circ$.
Также можно использовать свойство прямоугольного треугольника: катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Поскольку катет (8) равен половине гипотенузы (16), то противолежащий ему угол равен $30^\circ$.
Ответ: $30^\circ$

в)

На рисунке изображен прямоугольный треугольник. Длина гипотенузы равна 24. Указан внешний угол при одной из вершин, равный $120^\circ$. Искомая величина — это катет, прилежащий к этому углу.
Сначала найдем внутренний угол треугольника, смежный с внешним углом в $120^\circ$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Пусть внутренний угол будет $\gamma$.$ \gamma = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $
Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, в котором известен острый угол ($60^\circ$), гипотенуза (24), и нужно найти прилежащий к этому углу катет (обозначим его за $x$).В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению длины прилежащего катета к длине гипотенузы.$ \cos(\gamma) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $
Подставляем известные значения:$ \cos(60^\circ) = \frac{x}{24} $
Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:$ \frac{1}{2} = \frac{x}{24} $
Отсюда находим $x$:$ x = \frac{24}{2} = 12 $.
Ответ: 12

г)

На рисунке изображен треугольник, вписанный в окружность. Одна из его сторон проходит через центр окружности, следовательно, является ее диаметром.
Диаметр окружности равен сумме двух радиусов: $7 + 7 = 14$.
По свойству вписанного угла, угол, опирающийся на диаметр, является прямым ($90^\circ$). Таким образом, изображенный треугольник — прямоугольный. Его гипотенуза является диаметром окружности и равна 14.
Один из катетов этого треугольника равен 7 (по условию). Искомый угол (обозначим его $\beta$) лежит напротив этого катета.В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы.$ \sin(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $
Подставляем известные значения:$ \sin(\beta) = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} $
Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, — это $30^\circ$. Следовательно, искомый угол равен $30^\circ$.
Ответ: $30^\circ$