Номер 232, страница 144 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

232. Дан треугольник $ABC$, у которого $AC = BC$. На его стороне $AC$ взята точка $M$, равноудаленная от прямых $AB$ и $BC$, $\angle ABM = 35^\circ$. Найдите угол $C$.

По свойству биссектрисы угла, любая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от сторон этого угла. Поскольку по условию точка $M$ равноудалена от прямых $AB$ и $BC$, она лежит на биссектрисе угла $\angle ABC$. Следовательно, луч $BM$ является биссектрисой угла $\angle ABC$.

Биссектриса делит угол на две равные части. Нам известен угол $\angle ABM = 35^\circ$, значит и вторая часть угла, $\angle CBM$, также равна $35^\circ$:
$\angle CBM = \angle ABM = 35^\circ$
Таким образом, мы можем найти величину всего угла $\angle ABC$:
$\angle ABC = \angle ABM + \angle CBM = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ$.

В условии задачи сказано, что в треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны ($AC=BC$). Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому:
$\angle CAB = \angle CBA = 70^\circ$.

Зная два угла в треугольнике $ABC$, мы можем найти третий угол, $\angle C$, используя теорему о сумме углов треугольника, которая гласит, что сумма всех углов равна $180^\circ$:
$\angle C = 180^\circ - (\angle CAB + \angle CBA)$
$\angle C = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ)$
$\angle C = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

Ответ: $40^\circ$.