Номер 229, страница 141 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

229*. В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $BN$ и $CK$ пересекаются в точке $H$. Найдите угол $C$ треугольника $ABC$, если $CH = AB$.

Пусть дан остроугольный треугольник $ABC$. В нем проведены высоты $BN$ и $CK$, которые пересекаются в точке $H$. По определению высоты, $BN \perp AC$ и $CK \perp AB$. Нам дано, что $CH = AB$. Требуется найти угол $C$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABN$ и $\triangle HCN$.

1. В треугольнике $ABN$ угол $\angle BNA = 90^\circ$, так как $BN$ — высота. Из свойства острых углов прямоугольного треугольника следует, что $\angle ABN = 90^\circ - \angle BAN$. Угол $\angle BAN$ — это угол $A$ треугольника $ABC$. Таким образом, $\angle ABN = 90^\circ - \angle A$.

2. В треугольнике $HNC$ угол $\angle HNC = 90^\circ$, так как он совпадает с углом $\angle BNC$ (поскольку точка $H$ лежит на отрезке $BN$). Следовательно, $\triangle HCN$ — прямоугольный. Найдем его острый угол $\angle HCN$. Точки $C, H, K$ лежат на одной прямой — высоте $CK$. Значит, угол $\angle HCN$ совпадает с углом $\angle KCA$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AKC$ (где $\angle AKC = 90^\circ$). В нем $\angle KCA = 90^\circ - \angle KAC = 90^\circ - \angle A$. Таким образом, $\angle HCN = 90^\circ - \angle A$.

Теперь сравним прямоугольные треугольники $\triangle ABN$ и $\triangle HCN$:

• Гипотенуза $AB$ треугольника $\triangle ABN$ равна гипотенузе $CH$ треугольника $\triangle HCN$ по условию задачи.
• Острый угол $\angle ABN$ равен острому углу $\angle HCN$, так как мы доказали, что оба они равны $90^\circ - \angle A$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABN$ и $\triangle HCN$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $BN = CN$.

Рассмотрим треугольник $BNC$. Он является прямоугольным ($\angle BNC = 90^\circ$) и, как мы только что выяснили, равнобедренным ($BN = CN$). В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны, и каждый из них составляет $45^\circ$. Углы при основании (гипотенузе $BC$) — это $\angle NBC$ и $\angle NCB$.

Таким образом, $\angle NCB = 45^\circ$. Угол $\angle NCB$ является углом $C$ исходного треугольника $ABC$.

Ответ: $45^\circ$