Номер 225, страница 141 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

225. Дан угол $BAC$. На стороне $AC$ взята точка $E$. Через точку $E$ проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе угла $BAC$, которая пересекает луч $AB$ в точке $F$, а биссектрису — в точке $G$. Найдите периметр треугольника $AFE$, если $AE = 12$ см, а $FG = 4$ см.

Пусть $AG$ — это биссектриса угла $BAC$. По условию, прямая, проходящая через точки $E$, $G$ и $F$, перпендикулярна этой биссектрисе. Следовательно, $FE \perp AG$.

Рассмотрим треугольник $AFE$. В этом треугольнике отрезок $AG$ является биссектрисой угла $FAE$ (по определению биссектрисы угла $BAC$) и высотой, проведенной к стороне $FE$ (так как $AG \perp FE$).

Если в треугольнике биссектриса, проведенная из какой-либо вершины, совпадает с высотой, проведенной из той же вершины, то такой треугольник является равнобедренным. Следовательно, треугольник $AFE$ — равнобедренный с основанием $FE$, а его боковые стороны равны: $AF = AE$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является и медианой. Это означает, что точка $G$ делит основание $FE$ пополам: $FG = GE$.

Согласно условию задачи, нам известны следующие длины: $AE = 12$ см и $FG = 4$ см.

Используя свойства равнобедренного треугольника $AFE$, мы можем найти длины остальных отрезков:
$AF = AE = 12$ см.
$GE = FG = 4$ см.

Теперь найдем полную длину стороны $FE$:
$FE = FG + GE = 4 \text{ см} + 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Периметр треугольника $AFE$ равен сумме длин всех его сторон:
$P_{AFE} = AF + AE + FE$.
Подставим найденные значения:
$P_{AFE} = 12 \text{ см} + 12 \text{ см} + 8 \text{ см} = 32 \text{ см}$.

Ответ: 32 см.