Номер 219, страница 136 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

219*. Докажите, что сумма длин боковых ребер треугольной пирамиды DABC больше полупериметра основания ABC, то есть что $DA + DB + DC > \frac{1}{2}(AB + BC + AC)$ (рис. 261, а). Выясните, будет ли аналогичное утверждение верно для четырехугольной пирамиды PABCD (рис. 261, б).

а) б) Puc. 261

Докажите, что сумма длин боковых ребер треугольной пирамиды DABC больше полупериметра основания ABC, то есть что DA + DB + DC > 1/2 (AB + BC + AC) (рис. 261, а).

Рассмотрим боковые грани треугольной пирамиды DABC: $\triangle DAB$, $\triangle DBC$ и $\triangle DAC$. Для каждого из этих треугольников справедливо неравенство треугольника, согласно которому сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины третьей стороны.

Запишем неравенства для каждой боковой грани:
1. Для $\triangle DAB$: $DA + DB > AB$
2. Для $\triangle DBC$: $DB + DC > BC$
3. Для $\triangle DAC$: $DA + DC > AC$

Сложим левые и правые части этих трех неравенств:
$(DA + DB) + (DB + DC) + (DA + DC) > AB + BC + AC$

Приведем подобные слагаемые в левой части полученного неравенства:
$2DA + 2DB + 2DC > AB + BC + AC$
$2(DA + DB + DC) > AB + BC + AC$

Разделим обе части неравенства на 2:
$DA + DB + DC > \frac{1}{2}(AB + BC + AC)$

Таким образом, мы доказали, что сумма длин боковых ребер треугольной пирамиды больше полупериметра ее основания. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

Выясните, будет ли аналогичное утверждение верно для четырехугольной пирамиды PABCD (рис. 261, б).

Проверим, верно ли для четырехугольной пирамиды PABCD утверждение, что сумма длин боковых ребер больше полупериметра основания, то есть $PA + PB + PC + PD > \frac{1}{2}(AB + BC + CD + DA)$.

Рассмотрим боковые грани четырехугольной пирамиды PABCD: $\triangle PAB$, $\triangle PBC$, $\triangle PCD$ и $\triangle PDA$. Применим к каждой из них неравенство треугольника.

Запишем неравенства для каждой боковой грани:
1. Для $\triangle PAB$: $PA + PB > AB$
2. Для $\triangle PBC$: $PB + PC > BC$
3. Для $\triangle PCD$: $PC + PD > CD$
4. Для $\triangle PDA$: $PD + PA > DA$

Сложим левые и правые части этих четырех неравенств:
$(PA + PB) + (PB + PC) + (PC + PD) + (PD + PA) > AB + BC + CD + DA$

Приведем подобные слагаемые в левой части:
$2PA + 2PB + 2PC + 2PD > AB + BC + CD + DA$
$2(PA + PB + PC + PD) > AB + BC + CD + DA$

Разделим обе части неравенства на 2:
$PA + PB + PC + PD > \frac{1}{2}(AB + BC + CD + DA)$

Следовательно, аналогичное утверждение для четырехугольной пирамиды также является верным.
Ответ: Да, аналогичное утверждение верно.