Номер 215, страница 136 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

215. Докажите, что диаметр — это наибольшая хорда окружности.

Рассмотрим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$.

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Диаметр — это хорда, проходящая через центр окружности. Длина диаметра $D$ равна двум радиусам: $D = 2R$.

Необходимо доказать, что любая хорда окружности не длиннее ее диаметра.

Пусть $AB$ — произвольная хорда окружности. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Хорда $AB$ проходит через центр $O$.
В этом случае хорда $AB$ по определению является диаметром. Ее длина равна $A_O + OB = R + R = 2R$.

Случай 2: Хорда $AB$ не проходит через центр $O$.
Соединим концы хорды, точки $A$ и $B$, с центром окружности $O$. Мы получим треугольник $\triangle OAB$. Стороны этого треугольника равны: $OA = R$ (радиус), $OB = R$ (радиус) и $AB$ (длина хорды).

Воспользуемся неравенством треугольника, которое гласит, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Для стороны $AB$ треугольника $\triangle OAB$ имеем:

$AB < OA + OB$

Подставим значения длин сторон $OA$ и $OB$:

$AB < R + R$

$AB < 2R$

Таким образом, любая хорда, не являющаяся диаметром, строго меньше $2R$.

Объединяя оба случая, мы видим, что длина любой хорды $AB$ удовлетворяет условию $AB \le 2R$. Равенство достигается только тогда, когда хорда является диаметром. Следовательно, диаметр — это наибольшая хорда окружности.

Ответ: Что и требовалось доказать.