Номер 217, страница 136 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

217*. Точка $M$ движется по сторонам треугольника $ABC$, у которого $AC = 6$ см, $BC = 8$ см, $AB = 10$ см. При каком положении точки $M$ сумма ее расстояний до точек $A$ и $B$ будет:

а) наибольшей;

б) наименьшей?

Сначала определим тип треугольника ABC. Даны стороны $AC = 6$ см, $BC = 8$ см, $AB = 10$ см. Проверим, выполняется ли для них теорема Пифагора:

$AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ см$^2$.

$AB^2 = 10^2 = 100$ см$^2$.

Поскольку $AC^2 + BC^2 = AB^2$, треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине C ($\angle C = 90^\circ$). Сторона AB является гипотенузой.

Нам нужно найти положение точки M на сторонах треугольника, при котором сумма расстояний $S = MA + MB$ будет наибольшей и наименьшей. Рассмотрим движение точки M по каждой из трех сторон треугольника.

а) наибольшей

Проанализируем сумму расстояний $S = MA + MB$ для каждого из трех возможных отрезков, по которым движется точка M.

1. Точка M лежит на стороне AB. Если точка M находится на отрезке AB, то сумма расстояний от M до его концов A и B равна длине самого отрезка: $S = MA + MB = AB = 10$ см. Эта сумма постоянна для любого положения M на стороне AB.
2. Точка M лежит на стороне AC. Рассмотрим значения суммы $S = MA + MB$ на концах отрезка AC:
   • Если M совпадает с A, то $S = AA + AB = 0 + 10 = 10$ см.
   • Если M совпадает с C, то $S = CA + CB = 6 + 8 = 14$ см.
   Для любой внутренней точки M на отрезке AC рассмотрим треугольник CMB. По неравенству треугольника $MB < MC + CB$. Прибавим к обеим частям MA: $MA + MB < MA + MC + CB$. Так как M лежит на отрезке AC, то $MA + MC = AC$. Следовательно, $MA + MB < AC + CB = 6 + 8 = 14$ см. Это означает, что для любой точки M на стороне AC, кроме C, сумма расстояний будет меньше 14 см. Таким образом, максимальное значение суммы на стороне AC достигается в точке C и равно 14 см.
3. Точка M лежит на стороне BC. Аналогично, рассмотрим значения суммы $S = MA + MB$ на концах отрезка BC:
   • Если M совпадает с B, то $S = BA + BB = 10 + 0 = 10$ см.
   • Если M совпадает с C, то $S = CA + CB = 6 + 8 = 14$ см.
   Для любой внутренней точки M на отрезке BC по неравенству треугольника для $\triangle CMA$: $MA < MC + CA$. Прибавим к обеим частям MB: $MA + MB < MC + CA + MB$. Так как M лежит на отрезке BC, то $MB + MC = BC$. Следовательно, $MA + MB < BC + CA = 8 + 6 = 14$ см. Максимальное значение суммы на стороне BC также достигается в точке C.

Сравнивая значения суммы $S = MA+MB$ для всех возможных положений точки M на периметре треугольника (10 см на стороне AB, от 10 до 14 см на AC, от 10 до 14 см на BC), мы заключаем, что наибольшее значение равно 14 см и достигается, когда точка M совпадает с вершиной C.

Ответ: сумма расстояний от точки M до точек A и B будет наибольшей, когда точка M совпадает с вершиной C.

б) наименьшей

Воспользуемся неравенством треугольника для точек A, B и M. Для любого положения точки M в плоскости, в том числе и на периметре треугольника ABC, справедливо неравенство: $MA + MB \ge AB$.

В нашем случае $AB = 10$ см, поэтому $MA + MB \ge 10$ см. Это означает, что наименьшее возможное значение суммы расстояний равно 10 см.

Равенство в неравенстве треугольника, $MA + MB = AB$, достигается тогда и только тогда, когда точка M лежит на отрезке AB.

Поскольку отрезок AB является одной из сторон треугольника ABC, точка M может находиться на этой стороне. Следовательно, для любой точки M, лежащей на стороне AB, сумма расстояний $MA + MB$ будет равна 10 см, что является наименьшим возможным значением.

На двух других сторонах (катетах AC и BC), как показано в пункте а), сумма расстояний $MA+MB$ строго больше 10 см для всех точек, кроме вершин A и B, где она равна 10 см. Вершины A и B также принадлежат стороне AB.

Таким образом, наименьшее значение суммы достигается, когда точка M находится в любом месте на стороне AB.

Ответ: сумма расстояний от точки M до точек A и B будет наименьшей, когда точка M лежит на стороне AB.