Номер 223, страница 141 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

223. На сторонах угла A взяты точки M и K так, что $AM = AK = 12$ см. Расстояние от точки M до прямой AK равно 8 см. Найдите расстояние от точки K до прямой AM.

Пусть дан угол с вершиной в точке A. На его сторонах расположены точки M и K. По условию, отрезки, соединяющие вершину угла с этими точками, равны: $AM = AK = 12$ см.

Соединим точки M и K, получим треугольник $\triangle AMK$. Так как две его стороны равны ($AM = AK$), этот треугольник является равнобедренным с основанием MK.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую.

Расстояние от точки M до прямой AK по условию равно 8 см. Проведем перпендикуляр MH из точки M к прямой AK (точка H лежит на прямой AK). Длина этого перпендикуляра $MH = 8$ см. MH является высотой треугольника $\triangle AMK$, проведенной к стороне AK.

Требуется найти расстояние от точки K до прямой AM. Проведем перпендикуляр KP из точки K к прямой AM (точка P лежит на прямой AM). Длина этого перпендикуляра KP и есть искомое расстояние. KP является высотой треугольника $\triangle AMK$, проведенной к стороне AM.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, которые образуются этими высотами: $\triangle AKP$ (с прямым углом $\angle KPA = 90^\circ$) и $\triangle AMH$ (с прямым углом $\angle MHA = 90^\circ$).

Сравним эти треугольники:
1. $AK = AM$ по условию (это гипотенузы в данных прямоугольных треугольниках).
2. Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AKP$ и $\triangle AMH$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие катеты равны. Катет KP в $\triangle AKP$ лежит напротив угла $\angle A$. Катет MH в $\triangle AMH$ также лежит напротив угла $\angle A$. Значит, $KP = MH$.

Поскольку нам известно, что $MH = 8$ см, то и искомое расстояние $KP$ также равно 8 см.

Можно было прийти к тому же выводу, воспользовавшись свойством равнобедренного треугольника, согласно которому высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.

Ответ: 8 см.