Номер 230, страница 144 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

230. Найдите отрезок или угол, отмеченные знаком вопроса (рис. 277).

а) $21^\circ$, $21^\circ$, $5$, $?$.

б) $24^\circ$, $?$.

в) $32^\circ$, $?$.

г) $9$, $6$, $5$, $5$, $?$.

Рис. 277

а)

На рисунке изображен угол, разделенный лучом на два равных угла по $21^\circ$. Это означает, что данный луч является биссектрисой угла. Точка, из которой опущены перпендикуляры на стороны угла, лежит на этой биссектрисе. Согласно свойству биссектрисы угла, любая точка биссектрисы равноудалена от сторон этого угла. Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Длина одного перпендикуляра дана и равна 5. Следовательно, длина второго перпендикуляра, отмеченного знаком вопроса, также равна 5.

Ответ: 5.

б)

Рассмотрим данный треугольник. Судя по обозначению, это прямоугольный треугольник, у которого прямой угол находится в верхней вершине. Пусть это будет вершина B треугольника ABC, где A и C - вершины при основании. Из вершины прямого угла B проведена медиана BD к гипотенузе AC (поскольку отрезки, на которые она делит гипотенузу, отмечены как равные). По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, ее длина равна половине длины гипотенузы. То есть, $BD = AD = CD$. Рассмотрим треугольник BDC. Так как $BD = CD$, он является равнобедренным с основанием BC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle DBC = \angle DCB$. По условию, $\angle DCB = 24^\circ$. Значит, $\angle DBC = 24^\circ$. Весь угол при вершине B, $\angle ABC$, является прямым и равен $90^\circ$. Этот угол состоит из двух углов: $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$. Искомый угол, отмеченный знаком вопроса, это $\angle ABD$. Подставим известные значения: $90^\circ = \angle ABD + 24^\circ$. Отсюда находим $\angle ABD$: $\angle ABD = 90^\circ - 24^\circ = 66^\circ$.

Ответ: $66^\circ$.

в)

Пусть дан треугольник ABC, а точка внутри него - P. На рисунке показано, что отрезки AP и BP являются биссектрисами углов A и B соответственно (углы при вершинах A и B разделены на равные части). Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной окружности (инцентром). Следовательно, точка P - инцентр. Это означает, что отрезок CP также является биссектрисой угла C. Нам дана половина угла B: $\angle PBA = 32^\circ$. Следовательно, весь угол B равен $2 \times 32^\circ = 64^\circ$. Искомый угол отмечен знаком вопроса. Это угол между биссектрисой CP и перпендикуляром PE, опущенным из точки P на сторону BC. Обозначим его $\angle EPC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник PEC ($\angle PEC = 90^\circ$). Сумма его острых углов равна $90^\circ$: $\angle EPC + \angle PCE = 90^\circ$. Отсюда $\angle EPC = 90^\circ - \angle PCE$. $\angle PCE$ - это половина угла C, то есть $\angle PCE = \angle C / 2$. Задача сводится к нахождению величины угла C. В общем виде задача не имеет однозначного решения. Однако, в учебных задачах часто предполагается, что если треугольник выглядит равнобедренным и других данных нет, его можно считать таковым. Визуально стороны AC и BC выглядят равными, что означало бы равенство противолежащих углов A и B. Примем, что треугольник ABC равнобедренный с основанием AB, то есть $\angle A = \angle B = 64^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (64^\circ + 64^\circ) = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$. Тогда половина угла C равна $\angle PCE = 52^\circ / 2 = 26^\circ$. Теперь можем найти искомый угол: $\angle EPC = 90^\circ - \angle PCE = 90^\circ - 26^\circ = 64^\circ$.

Ответ: $64^\circ$.

г)

Пусть дан треугольник ABC с вершинами A (сверху), B (слева внизу) и C (справа внизу). Из вершины A проведена биссектриса AF к стороне BC (так как $\angle BAF = \angle CAF$). Точка F делит сторону BC на отрезки $BF=9$ и $FC=6$. Таким образом, длина стороны $BC = 9 + 6 = 15$. На стороне AC отмечена точка D, которая делит ее на отрезки $AD=5$ и $DC=5$. Следовательно, длина стороны $AC = 5 + 5 = 10$. Из вершины C проведена биссектриса CE к стороне AB. Нам нужно найти длину отрезка AE, обозначенного знаком вопроса. Воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника (теоремой о биссектрисе). 1. Для биссектрисы AF угла A: отношение сторон, прилежащих к углу, равно отношению отрезков, на которые биссектриса делит противолежащую сторону. $\frac{AB}{AC} = \frac{BF}{FC}$ Подставим известные значения: $\frac{AB}{10} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ Отсюда находим длину стороны AB: $AB = 10 \times \frac{3}{2} = 15$. 2. Теперь применим ту же теорему для биссектрисы CE угла C: $\frac{AE}{EB} = \frac{AC}{BC}$ Подставим известные значения: $\frac{AE}{EB} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ Мы знаем, что точка E лежит на стороне AB, поэтому $AE + EB = AB = 15$. Выразим $EB = 15 - AE$. Подставим это в пропорцию: $\frac{AE}{15 - AE} = \frac{2}{3}$ Решим уравнение относительно AE: $3 \times AE = 2 \times (15 - AE)$ $3 \times AE = 30 - 2 \times AE$ $5 \times AE = 30$ $AE = 6$.

Ответ: 6.