Номер 237, страница 145 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

237*. Дан угол $BAC$, $AK$ — его биссектриса. Точка $M$ лежит внутри угла $BAK$. Докажите, что расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ меньше расстояния от точки $M$ до прямой $AC$.

Пусть даны угол $BAC$ и его биссектриса $AK$. Точка $M$ лежит внутри угла $BAK$.

Обозначим расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ как $d_1$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AC$ как $d_2$. По определению, расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Опустим перпендикуляры $MP$ на прямую $AB$ и $MQ$ на прямую $AC$. Таким образом, $d_1 = MP$ и $d_2 = MQ$. Нам нужно доказать, что $MP < MQ$.

Доказательство:

1. Проведем через точку $M$ прямую, перпендикулярную биссектрисе $AK$. Пусть эта прямая пересекает прямую $AB$ в точке $R$ и прямую $AC$ в точке $S$. Пусть $T$ — точка пересечения этой прямой с биссектрисой $AK$. По построению, $RS \perp AK$.

2. Рассмотрим треугольник $ARS$. Отрезок $AT$ является биссектрисой угла $RAS$ (так как $T$ лежит на биссектрисе $AK$) и высотой (так как $AT \perp RS$). Треугольник, в котором биссектриса, проведенная из вершины, является и высотой, — равнобедренный. Следовательно, треугольник $ARS$ является равнобедренным с основанием $RS$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle ARS = \angle ASR$. Также высота $AT$ является и медианой, поэтому $T$ — середина отрезка $RS$, и $RT = TS$.

3. Рассмотрим прямоугольные треугольники $MPR$ (с прямым углом $P$) и $MQS$ (с прямым углом $Q$). Катет в прямоугольном треугольнике равен произведению гипотенузы на синус противолежащего угла. Следовательно:
$MP = MR \cdot \sin(\angle MRP)$
$MQ = MS \cdot \sin(\angle MSQ)$
Поскольку $\angle MRP$ — это тот же угол, что и $\angle ARS$, а $\angle MSQ$ — тот же угол, что и $\angle ASR$, и мы доказали, что $\angle ARS = \angle ASR$, то и $\sin(\angle MRP) = \sin(\angle MSQ)$. Обозначим это значение синуса как $k$. Отметим, что $k > 0$, так как угол $\angle ARS$ в треугольнике не является нулевым или развернутым.

4. Теперь сравним длины отрезков $MR$ и $MS$. Точка $M$ по условию лежит внутри угла $BAK$. Точки $R$, $M$, $T$, $S$ лежат на одной прямой. Точка $R$ лежит на прямой $AB$, точка $T$ — на биссектрисе $AK$. Поскольку $M$ лежит в области угла $BAK$ (то есть «между» лучами $AB$ и $AK$), то на прямой $RS$ точка $M$ будет расположена между точками $R$ и $T$. Отсюда следует, что $MR = RT - MT$. Точка $S$ лежит на прямой $AC$. Так как $T$ является серединой $RS$, а $M$ лежит на отрезке $RT$, то порядок точек на прямой таков: $R, M, T, S$. Тогда $MS = MT + TS$.

Так как $RT = TS$ и $MT > 0$ (поскольку точка $M$ по условию не лежит на биссектрисе $AK$), получаем:
$MR = RT - MT < RT$
$MS = TS + MT = RT + MT$
Отсюда очевидно, что $MR < MS$.

5. Возвращаясь к выражениям для $MP$ и $MQ$:
$MP = MR \cdot k$
$MQ = MS \cdot k$
Поскольку $MR < MS$ и $k > 0$, мы можем заключить, что $MR \cdot k < MS \cdot k$, а значит, $MP < MQ$.

Таким образом, доказано, что расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ меньше расстояния от точки $M$ до прямой $AC$.

Ответ: Утверждение доказано.