Номер 239, страница 148 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

239. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, $AB + BC = 111$ см. Найдите $AB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором по условию $\angle C = 90^\circ$ и $\angle B = 60^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдем величину угла $A$:

$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В нашем треугольнике катет $BC$ лежит напротив угла $A = 30^\circ$, а гипотенузой является сторона $AB$ (лежащая напротив прямого угла $C$).

Следовательно, мы можем записать соотношение: $BC = \frac{1}{2} AB$.

Другой способ установить это соотношение — через косинус угла $B$. В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\angle B) = \frac{BC}{AB}$

Подставляя известные значения, получаем:

$\cos(60^\circ) = \frac{BC}{AB}$

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, то $\frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}$, откуда следует, что $BC = \frac{1}{2} AB$.

По условию задачи известно, что $AB + BC = 111$ см.

Подставим в это уравнение выражение для $BC$, которое мы нашли:

$AB + \frac{1}{2} AB = 111$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$\frac{3}{2} AB = 111$

Теперь найдем $AB$:

$AB = 111 \cdot \frac{2}{3}$

$AB = \frac{111 \cdot 2}{3} = 37 \cdot 2 = 74$

Таким образом, длина стороны $AB$ составляет 74 см.

Ответ: 74 см.