Номер 236, страница 145 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

236*. В треугольнике $ABC$ биссектрисы, проведенные из вершин $B$ и $C$, и медиана, проведенная из вершины $A$, пересекаются в точке $O$. Угол $\angle BOC$ равен $130^\circ$. Найдите угол $\angle ABC$.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $BO$ и $CO$ из вершин $B$ и $C$ соответственно, и медиана $AM$ из вершины $A$. По условию, эти три отрезка пересекаются в одной точке $O$.

Рассмотрим треугольник $BOC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно, для треугольника $BOC$ справедливо равенство: $\angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^\circ$

По условию задачи, угол $\angle BOC = 130^\circ$. Подставим это значение в формулу: $\angle OBC + \angle OCB + 130^\circ = 180^\circ$ Отсюда находим сумму углов $\angle OBC$ и $\angle OCB$: $\angle OBC + \angle OCB = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$

Так как $BO$ — биссектриса угла $\angle ABC$, то она делит этот угол пополам: $\angle OBC = \frac{1}{2} \angle ABC$. Аналогично, $CO$ — биссектриса угла $\angle ACB$, поэтому $\angle OCB = \frac{1}{2} \angle ACB$. Подставим эти выражения в полученное равенство: $\frac{1}{2} \angle ABC + \frac{1}{2} \angle ACB = 50^\circ$

Умножив обе части уравнения на 2, найдем сумму углов $B$ и $C$ треугольника $ABC$: $\angle ABC + \angle ACB = 100^\circ$

Точка пересечения биссектрис двух углов треугольника является центром вписанной в этот треугольник окружности (инцентром). В инцентре пересекаются все три биссектрисы треугольника. Следовательно, точка $O$ является инцентром, а прямая $AO$ — биссектрисой угла $\angle BAC$.

По условию, точка $O$ также лежит на медиане, проведенной из вершины $A$. Это означает, что в треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ и медиана, проведенная из той же вершины $A$, совпадают.

Существует свойство, согласно которому, если в треугольнике биссектриса и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник является равнобедренным относительно двух других сторон. Таким образом, треугольник $ABC$ — равнобедренный, и его боковые стороны $AB$ и $AC$ равны ($AB = AC$).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В нашем случае основанием является сторона $BC$, поэтому углы $\angle ABC$ и $\angle ACB$ равны.

Вернемся к равенству $\angle ABC + \angle ACB = 100^\circ$. Так как $\angle ABC = \angle ACB$, мы можем записать: $\angle ABC + \angle ABC = 100^\circ$ $2 \cdot \angle ABC = 100^\circ$ $\angle ABC = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ$

Ответ: $50^\circ$