Номер 233, страница 145 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

233. В прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$ проведена биссектриса $CE$. Из точки $E$ на стороны $CA$ и $CB$ опущены соответственно перпендикуляры $EK$ и $EM$. Найдите периметр четырехугольника $KCME$, если $EK = 7,5$ см.

Рассмотрим четырехугольник $KCME$. По условию задачи, угол $C$ в треугольнике $ABC$ прямой, значит $\angle KCM = 90^\circ$. Также дано, что $EK$ — перпендикуляр к стороне $CA$, а $EM$ — перпендикуляр к стороне $CB$. Это означает, что $\angle CKE = 90^\circ$ и $\angle CME = 90^\circ$.

Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. Три угла в четырехугольнике $KCME$ — прямые, следовательно, четвертый угол $\angle KEM$ также равен $360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.

В условии сказано, что $CE$ — биссектриса угла $C$. По свойству биссектрисы, любая точка на ней равноудалена от сторон угла. Точка $E$ лежит на биссектрисе $CE$, а $EK$ и $EM$ — это расстояния (длины перпендикуляров) от точки $E$ до сторон $CA$ и $CB$ соответственно. Таким образом, $EK = EM$.

Мы установили, что $KCME$ — это прямоугольник, у которого две смежные стороны ($EK$ и $EM$) равны. Такой прямоугольник является квадратом. Следовательно, все стороны четырехугольника $KCME$ равны между собой: $KC = CM = ME = EK$.

По условию $EK = 7,5$ см. Тогда периметр квадрата $KCME$ вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ — длина стороны:

$P_{KCME} = 4 \times EK = 4 \times 7,5 = 30$ см.

Ответ: 30 см.