Номер 226, страница 141 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

226. Высоты остроугольного треугольника $ABC$, проведенные из вершин $A$ и $C$, пересекаются в точке $H$. Докажите, что если $AH = CH$, то треугольник $ABC$ равнобедренный.

Пусть в остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ из вершины $A$ к стороне $BC$ и $CC_1$ из вершины $C$ к стороне $AB$. Точку пересечения этих высот обозначим $H$. По условию задачи, $AH = CH$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AC_1H$ и $\triangle CA_1H$.

• $\angle AC_1H = 90^\circ$ и $\angle CA_1H = 90^\circ$, так как $CC_1$ и $AA_1$ являются высотами.
• $AH = CH$ по условию задачи. В данных прямоугольных треугольниках это гипотенузы.
• Рассмотрим острый угол $\angle C_1AH$. Он является углом в прямоугольном треугольнике $\triangle AA_1B$. Из суммы углов треугольника $\triangle AA_1B$ имеем: $\angle BAA_1 = 90^\circ - \angle B$. Угол $\angle C_1AH$ совпадает с углом $\angle BAA_1$.
• Аналогично рассмотрим острый угол $\angle A_1CH$. Он является углом в прямоугольном треугольнике $\triangle CC_1B$. Из суммы углов треугольника $\triangle CC_1B$ имеем: $\angle BCC_1 = 90^\circ - \angle B$. Угол $\angle A_1CH$ совпадает с углом $\angle BCC_1$.
• Таким образом, мы получаем, что $\angle C_1AH = \angle A_1CH = 90^\circ - \angle B$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AC_1H$ и $\triangle CA_1H$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников $\triangle AC_1H \cong \triangle CA_1H$ следует равенство их соответствующих катетов: $AC_1 = CA_1$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ACC_1$ и $\triangle AA_1C$.

• У них общая гипотенуза $AC$.
• Катет $AC_1$ треугольника $\triangle ACC_1$ равен катету $CA_1$ треугольника $\triangle AA_1C$, как было доказано выше.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ACC_1$ и $\triangle AA_1C$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих острых углов: $\angle C_1AC = \angle A_1CA$. Эти углы являются углами $\angle A$ и $\angle C$ исходного треугольника $\triangle ABC$.

Итак, мы доказали, что в треугольнике $ABC$ углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то такой треугольник является равнобедренным.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, треугольник $ABC$ является равнобедренным.