Номер 221, страница 141 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

221. Докажите, что:

а) в равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к боковым сторонам, равны между собой;

б) если в треугольнике равны две высоты, то он равнобедренный.

а)

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, где боковые стороны равны: $AB = BC$. Проведем высоты $AH_1$ к боковой стороне $BC$ и $CH_2$ к боковой стороне $AB$. По определению высоты, $AH_1 \perp BC$ и $CH_2 \perp AB$. Требуется доказать, что $AH_1 = CH_2$.

Доказательство:
Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AH_1C$ и $\triangle CH_2A$.
1. Сторона $AC$ является общей гипотенузой для обоих треугольников.
2. В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании $AC$ равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$. Эти углы также являются острыми углами в рассматриваемых прямоугольных треугольниках: $\angle H_2AC$ в $\triangle CH_2A$ и $\angle H_1CA$ в $\triangle AH_1C$.
Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle AH_1C$ и $\triangle CH_2A$ равны по гипотенузе и острому углу.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Катет $AH_1$ треугольника $\triangle AH_1C$ соответствует катету $CH_2$ треугольника $\triangle CH_2A$. Следовательно, $AH_1 = CH_2$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к боковым сторонам, равны между собой.

б)

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены две высоты: $AH_1$ к стороне $BC$ и $CH_2$ к стороне $AB$. Известно, что длины этих высот равны: $AH_1 = CH_2$. Требуется доказать, что треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Доказательство:
Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AH_1C$ и $\triangle CH_2A$.
1. Сторона $AC$ является общей гипотенузой для обоих треугольников.
2. Катет $AH_1$ треугольника $\triangle AH_1C$ равен катету $CH_2$ треугольника $\triangle CH_2A$ по условию задачи: $AH_1 = CH_2$.
Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AH_1C$ и $\triangle CH_2A$ равны по гипотенузе и катету.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В данном случае, угол $\angle H_1CA$ треугольника $\triangle AH_1C$ равен углу $\angle H_2AC$ треугольника $\triangle CH_2A$.
Эти углы являются углами треугольника $ABC$: $\angle BCA = \angle BAC$.
Поскольку в треугольнике $ABC$ два угла равны, то по признаку равнобедренного треугольника, он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны, то есть $AB = BC$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если в треугольнике равны две высоты, то он равнобедренный.