Номер 228, страница 141 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

228*. Отметьте на координатной плоскости точки $A(-4; 4)$, $B(2; 8)$, $C(6; 2)$ и докажите, что треугольник $ABC$ — равнобедренный и прямоугольный.

Для того чтобы доказать, что треугольник ABC является равнобедренным и прямоугольным, необходимо найти длины его сторон, а затем проверить выполнение условий для данных типов треугольников.

Координаты точек: A(-4; 4), B(2; 8), C(6; 2).

Найдем квадраты длин сторон треугольника по формуле расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

1. Доказательство того, что треугольник ABC равнобедренный

Вычислим квадраты длин каждой стороны:
- Для стороны AB: $AB^2 = (2 - (-4))^2 + (8 - 4)^2 = (2 + 4)^2 + 4^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$.
- Для стороны BC: $BC^2 = (6 - 2)^2 + (2 - 8)^2 = 4^2 + (-6)^2 = 16 + 36 = 52$.
- Для стороны AC: $AC^2 = (6 - (-4))^2 + (2 - 4)^2 = (6 + 4)^2 + (-2)^2 = 10^2 + 4 = 100 + 4 = 104$.

Поскольку $AB^2 = BC^2 = 52$, то и длины сторон равны: $AB = BC = \sqrt{52}$.
Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Таким образом, треугольник ABC — равнобедренный.
Ответ: Треугольник ABC является равнобедренным, так как его стороны AB и BC равны.

2. Доказательство того, что треугольник ABC прямоугольный

Для доказательства используем обратную теорему Пифагора: если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то треугольник является прямоугольным.
Сравним сумму квадратов меньших сторон с квадратом большей стороны:
$AB^2 + BC^2 = 52 + 52 = 104$.
Квадрат третьей стороны $AC^2$ также равен 104.
Следовательно, выполняется равенство $AB^2 + BC^2 = AC^2$.

Это доказывает, что треугольник ABC является прямоугольным. Прямой угол $(\angle B)$ лежит напротив гипотенузы AC.
Ответ: Треугольник ABC является прямоугольным, так как для него выполняется теорема Пифагора ($52 + 52 = 104$).