Номер 234, страница 145 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

234. Докажите, что расстояния от середины основания равнобедренного треугольника до прямых, проходящих через боковые стороны, равны между собой.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и признаками равенства прямоугольных треугольников.

Дано:
Пусть $\triangle ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AC$. Это означает, что его боковые стороны равны: $AB = BC$.
Пусть точка $M$ — середина основания $AC$, следовательно, $AM = MC$.
Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MP$ на прямую $AB$ и $MQ$ на прямую $BC$.
Таким образом, $MP \perp AB$ и $MQ \perp BC$. Нам необходимо доказать, что длины этих перпендикуляров равны.

Доказать:
$MP = MQ$.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника, которые образовались в результате наших построений: $\triangle AMP$ и $\triangle CMQ$.

Поскольку $MP \perp AB$ и $MQ \perp BC$, то углы $\angle MPA$ и $\angle MQC$ являются прямыми, то есть $\angle MPA = \angle MQC = 90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle AMP$ и $\triangle CMQ$ — прямоугольные.

По свойству равнобедренного треугольника, углы при его основании равны. Для $\triangle ABC$ это означает, что $\angle BAC = \angle BCA$.

Теперь сравним прямоугольные треугольники $\triangle AMP$ и $\triangle CMQ$ по следующим элементам:

1. $AM = MC$ (гипотенузы), так как $M$ — середина основания $AC$ по условию.

2. $\angle PAM = \angle QCM$ (острые углы), так как это углы при основании равнобедренного треугольника $\triangle ABC$.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle AMP$ и $\triangle CMQ$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов. В частности, катет $MP$ треугольника $\triangle AMP$ соответствует катету $MQ$ треугольника $\triangle CMQ$ (оба лежат напротив равных углов $\angle PAM$ и $\angle QCM$). Следовательно, их длины равны: $MP = MQ$.

Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что расстояния от середины основания равнобедренного треугольника до прямых, проходящих через боковые стороны, равны между собой.