Номер 227, страница 141 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

227*. В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат $ABCD$ с площадью $36 \text{ см}^2$ (рис. 270). Периметр треугольника $DD_1C$ равен $24 \text{ см}$. Диагональ $A_1D$ грани $AA_1D_1D$ равна $10 \text{ см}$. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда (сумму площадей всех граней).

Рис. 270

Обозначим сторону квадрата в основании как $a$, а высоту параллелепипеда как $h$.

1. Найдем сторону основания. По условию, в основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат $ABCD$ с площадью $S_{ABCD} = 36 \text{ см}^2$. Сторона квадрата равна корню из его площади: $a = \sqrt{S_{ABCD}} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$. Таким образом, $AD = DC = 6 \text{ см}$.

2. Найдем высоту параллелепипеда. Рассмотрим боковую грань $AA_1D_1D$, которая является прямоугольником. Диагональ этой грани $A_1D$ равна $10 \text{ см}$. Треугольник $AA_1D$ — прямоугольный, так как ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит и стороне $AD$ (угол $\angle A_1AD = 90^\circ$). Применим теорему Пифагора для треугольника $AA_1D$: $A_1D^2 = AA_1^2 + AD^2$ Обозначим высоту $AA_1 = h$: $10^2 = h^2 + 6^2$ $100 = h^2 + 36$ $h^2 = 100 - 36 = 64$ $h = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$. Высота параллелепипеда $DD_1 = h = 8 \text{ см}$.

3. Проверим правильность вычислений, используя периметр треугольника $DD_1C$. Треугольник $DD_1C$ является прямоугольным (угол $\angle D_1DC = 90^\circ$). Его катеты — это высота $DD_1 = 8 \text{ см}$ и сторона основания $DC = 6 \text{ см}$. Найдем гипотенузу $D_1C$ по теореме Пифагора: $D_1C^2 = DD_1^2 + DC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$ $D_1C = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$. Периметр треугольника $DD_1C$ равен: $P_{DD_1C} = DD_1 + DC + D_1C = 8 + 6 + 10 = 24 \text{ см}$. Это значение совпадает с данным в условии, следовательно, размеры параллелепипеда найдены верно.

4. Найдем площадь полной поверхности параллелепипеда. Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) равна сумме площадей двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$): $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$ Площадь основания дана: $S_{осн} = 36 \text{ см}^2$. Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту. Периметр основания (квадрата) равен: $P_{осн} = 4 \cdot a = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см}$. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 24 \cdot 8 = 192 \text{ см}^2$. Вычисляем площадь полной поверхности: $S_{полн} = 2 \cdot 36 + 192 = 72 + 192 = 264 \text{ см}^2$.

Ответ: $264 \text{ см}^2$.