Номер 224, страница 141 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

224. Докажите, что равные хорды одной окружности находятся на одинаковом расстоянии от ее центра. Сформулируйте обратное утверждение и докажите его.

Докажите, что равные хорды одной окружности находятся на одинаковом расстоянии от ее центра.

Пусть в окружности с центром в точке $O$ и радиусом $R$ проведены две равные хорды $AB$ и $CD$, то есть $AB = CD$. Расстояние от центра окружности до хорды – это длина перпендикуляра, опущенного из центра на эту хорду. Проведем перпендикуляры $OH$ к хорде $AB$ и $OK$ к хорде $CD$. Нам нужно доказать, что $OH = OK$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$. Для этого соединим точки $A$ и $C$ с центром $O$, получив радиусы. Треугольники являются прямоугольными, так как $OH \perp AB$ и $OK \perp CD$ по построению.

Сравним эти треугольники:

1. Гипотенузы $OA$ и $OC$ равны, так как являются радиусами одной окружности: $OA = OC = R$.

2. Катеты $AH$ и $CK$. По свойству хорды, перпендикуляр, опущенный из центра окружности, делит хорду пополам. Следовательно, $AH = \frac{1}{2}AB$ и $CK = \frac{1}{2}CD$. Поскольку по условию $AB = CD$, то и их половины равны: $AH = CK$.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$ равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов, в том числе и катетов $OH$ и $OK$.

Следовательно, $OH = OK$, что и доказывает, что равные хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Ответ: Утверждение доказано.

Сформулируйте обратное утверждение и докажите его.

Обратное утверждение: Если две хорды одной окружности находятся на одинаковом расстоянии от ее центра, то эти хорды равны.

Доказательство:
Пусть в окружности с центром в точке $O$ даны две хорды $AB$ и $CD$. Расстояния от центра до этих хорд равны. Опустим перпендикуляры $OH$ на $AB$ и $OK$ на $CD$. По условию, $OH = OK$. Требуется доказать, что $AB = CD$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$.

1. Их гипотенузы $OA$ и $OC$ равны как радиусы одной окружности.

2. Их катеты $OH$ и $OK$ равны по условию.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство их вторых катетов: $AH = CK$.

По свойству хорды, перпендикуляр из центра делит ее пополам, поэтому $AB = 2 \cdot AH$ и $CD = 2 \cdot CK$.

Так как $AH = CK$, то и $AB = CD$. Обратное утверждение доказано.

Ответ: Обратное утверждение сформулировано и доказано.