Номер 222, страница 141 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

222. Докажите, что вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$ равноудалены от прямой, проходящей через медиану $BM$.

Доказательство:
Пусть дан треугольник $ABC$ и его медиана $BM$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AC$, следовательно, отрезки $AM$ и $MC$ равны: $AM = MC$.
Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Обозначим прямую, проходящую через медиану $BM$, как прямую $l$.
Опустим перпендикуляры из вершин $A$ и $C$ на прямую $l$. Пусть $AH$ — перпендикуляр из точки $A$ на прямую $l$ (точка $H$ лежит на $l$), а $CK$ — перпендикуляр из точки $C$ на прямую $l$ (точка $K$ лежит на $l$). Таким образом, $AH \perp l$ и $CK \perp l$.
Длины этих перпендикуляров, $AH$ и $CK$, и являются расстояниями от вершин $A$ и $C$ до прямой $l$. Нам нужно доказать, что $AH = CK$.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle AMH$ и $\triangle CMK$.
1. Эти треугольники являются прямоугольными, так как $\angle AHM = 90^\circ$ и $\angle CKM = 90^\circ$ по построению.
2. Гипотенузы этих треугольников равны: $AM = MC$, так как $BM$ — медиана.
3. Углы $\angle AMH$ и $\angle CMK$ равны как вертикальные углы, образованные при пересечении прямых $AC$ и $l$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AMH$ и $\triangle CMK$ равны по гипотенузе и острому углу.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов. Катет $AH$ лежит напротив угла $\angle AMH$, а катет $CK$ лежит напротив равного ему угла $\angle CMK$. Значит, $AH = CK$.
Таким образом, расстояния от вершин $A$ и $C$ до прямой, проходящей через медиану $BM$, равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство расстояний от вершин $A$ и $C$ до прямой, содержащей медиану $BM$, доказывается через равенство прямоугольных треугольников $\triangle AMH$ и $\triangle CMK$ (где $AH$ и $CK$ — перпендикуляры к прямой $BM$), которые равны по гипотенузе ($AM=MC$) и острому углу ($\angle AMH = \angle CMK$ как вертикальные).