Номер 218, страница 136 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

218*. Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до трех его вершин больше полупериметра треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон как $a = BC$, $b = AC$ и $c = AB$. Периметр треугольника равен $P = a+b+c$, а полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Возьмем произвольную точку $M$, расположенную внутри треугольника $ABC$. Соединим эту точку с вершинами треугольника. Мы получим три отрезка $MA$, $MB$ и $MC$. Нам нужно доказать, что $MA + MB + MC > p$, то есть $MA + MB + MC > \frac{a+b+c}{2}$.

Рассмотрим три треугольника, которые образует точка $M$ с вершинами треугольника $ABC$: $\triangle AMB$, $\triangle BMC$ и $\triangle CMA$.

Для каждого из этих треугольников применим неравенство треугольника, согласно которому сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины третьей стороны.

1. Для треугольника $\triangle AMB$ имеем:

$MA + MB > AB$ или $MA + MB > c$

2. Для треугольника $\triangle BMC$ имеем:

$MB + MC > BC$ или $MB + MC > a$

3. Для треугольника $\triangle CMA$ имеем:

$MC + MA > CA$ или $MC + MA > b$

Теперь сложим левые и правые части этих трех неравенств:

$(MA + MB) + (MB + MC) + (MC + MA) > c + a + b$

Сгруппируем слагаемые в левой части полученного неравенства:

$2MA + 2MB + 2MC > a + b + c$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(MA + MB + MC) > a + b + c$

Разделим обе части неравенства на 2:

$MA + MB + MC > \frac{a+b+c}{2}$

Так как полупериметр треугольника $p = \frac{a+b+c}{2}$, мы доказали, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до трех его вершин больше полупериметра треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано. Сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его вершин действительно больше полупериметра треугольника.