Номер 240, страница 148 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

240. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BK$. Сумма расстояний от точки $K$ до прямых $BA$ и $BC$ равна 19 см, $\angle C = 30^\circ$. Найдите $KC$.

Пусть $KM$ — расстояние от точки $K$ до прямой $BA$ (длина перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на прямую $BA$), а $KN$ — расстояние от точки $K$ до прямой $BC$ (длина перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на прямую $BC$).

По свойству биссектрисы угла, любая точка, принадлежащая биссектрисе, равноудалена от сторон этого угла. Так как отрезок $BK$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, то расстояния от точки $K$ до прямых $BA$ и $BC$ равны:$KM = KN$.

Согласно условию задачи, сумма этих расстояний составляет 19 см:$KM + KN = 19$ см.

Заменив $KM$ на $KN$ в этом равенстве, получим:$KN + KN = 19$ см
$2 \cdot KN = 19$ см
$KN = \frac{19}{2} = 9.5$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle KNC$. Так как $KN$ — это перпендикуляр к прямой $BC$, то угол $\angle KNC$ является прямым, то есть $\angle KNC = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $\triangle KNC$ — прямоугольный.

В этом треугольнике нам известны:

• катет $KN = 9.5$ см;
• угол $\angle C = 30^\circ$, противолежащий катету $KN$.

Для нахождения гипотенузы $KC$ воспользуемся определением синуса угла в прямоугольном треугольнике:$\sin(\angle C) = \frac{KN}{KC}$

Подставим известные значения. Мы знаем, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.$\frac{1}{2} = \frac{9.5}{KC}$

Выразим $KC$ из этого уравнения:$KC = 2 \cdot 9.5$$KC = 19$ см.

Ответ: 19 см.