Номер 243, страница 148 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

243. В треугольнике $ABC$ проведены высота $BH$ и медиана $BM$, $BM = \frac{1}{2}AC$, $\angle A = 60^\circ$, $HM = 24$ см. Найдите $HC$.

1. По свойству медианы в треугольнике, если медиана, проведенная к некоторой стороне, равна половине этой стороны, то треугольник является прямоугольным, а эта сторона — его гипотенузой. В нашем случае $BM$ — медиана к стороне $AC$, и по условию $BM = \frac{1}{2}AC$. Следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABC = 90^\circ$), а $AC$ — его гипотенуза.

Доказательство этого свойства: поскольку $BM$ — медиана, то $M$ — середина $AC$, и $AM = MC = \frac{1}{2}AC$. Из условия $BM = \frac{1}{2}AC$ следует, что $BM = AM = MC$. Точка $M$ равноудалена от всех трех вершин треугольника, а значит, является центром описанной окружности, и $AC$ — её диаметр. Угол $\angle ABC$ опирается на диаметр, следовательно, он равен $90^\circ$.

2. Найдем угол $C$ в прямоугольном треугольнике $ABC$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$.
$\angle C = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (так как $BH$ — высота, $\angle BHA = 90^\circ$). Выразим катет $AH$ через гипотенузу $AB$ и угол $A$:
$AH = AB \cdot \cos(\angle A)$.

4. В прямоугольном треугольнике $ABC$ выразим катет $AB$ через гипотенузу $AC$ и угол $A$:
$AB = AC \cdot \cos(\angle A)$.

5. Подставим выражение для $AB$ из шага 4 в формулу для $AH$ из шага 3:
$AH = (AC \cdot \cos(\angle A)) \cdot \cos(\angle A) = AC \cdot \cos^2(\angle A)$.
Подставим известное значение угла $A = 60^\circ$ ($\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$):
$AH = AC \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}AC$.

6. Точка $M$ — середина $AC$, поэтому $AM = \frac{1}{2}AC$.
Сравним $AH$ и $AM$: $AH = \frac{1}{4}AC$ и $AM = \frac{1}{2}AC$. Так как $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$, то $AH < AM$. Это означает, что на отрезке $AC$ точка $H$ лежит между $A$ и $M$.
Следовательно, $HM = AM - AH$.
$HM = \frac{1}{2}AC - \frac{1}{4}AC = \frac{1}{4}AC$.

7. По условию $HM = 24$ см. Используем это для нахождения длины $AC$:
$\frac{1}{4}AC = 24$ см
$AC = 24 \cdot 4 = 96$ см.

8. Теперь найдем длину $HC$. Так как точки расположены в порядке A-H-M-C, то $HC$ можно найти как сумму $HM$ и $MC$.
$MC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 96 = 48$ см.
$HC = HM + MC = 24 + 48 = 72$ см.

Ответ: 72 см.