Номер 248, страница 152 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

248. Докажите, что прямая, равноудаленная от двух данных параллельных прямых, делит пополам любой отрезок с концами на этих параллельных прямых.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$), и прямая $c$, равноудаленная от них. Пусть $AB$ — произвольный отрезок, концы которого лежат на данных прямых ($A \in a$, $B \in b$).

Доказательство:

1. Из условия, что прямая $c$ равноудалена от параллельных прямых $a$ и $b$, следует, что прямая $c$ параллельна прямым $a$ и $b$ и проходит ровно посередине между ними. То есть, $a \parallel c \parallel b$.

2. Пусть отрезок $AB$ пересекает прямую $c$ в точке $M$. Необходимо доказать, что $M$ является серединой отрезка $AB$, то есть $AM = MB$.

3. Проведем через точку $M$ прямую, перпендикулярную прямым $a$ и $b$. Пусть эта перпендикулярная прямая пересекает прямую $a$ в точке $P$ и прямую $b$ в точке $Q$.

4. Длина отрезка $PM$ представляет собой расстояние от точки $M$ до прямой $a$. Длина отрезка $QM$ — расстояние от точки $M$ до прямой $b$. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $c$, которая по условию равноудалена от $a$ и $b$, то эти расстояния равны: $PM = QM$.

5. Рассмотрим треугольники $\triangle PMA$ и $\triangle QMB$. У них:

- $\angle PMA = \angle QMB$ как вертикальные углы, образованные пересечением прямых $AB$ и $PQ$.

- $PM = QM$, так как точка $M$ на прямой $c$ равноудалена от прямых $a$ и $b$.

- По построению, прямая $PQ$ перпендикулярна прямым $a$ и $b$. Следовательно, $\angle MPA = \angle MQB = 90^\circ$.

6. Таким образом, треугольники $\triangle PMA$ и $\triangle QMB$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников, ASA). В данном случае это можно сформулировать как равенство прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу.

7. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, гипотенузы этих треугольников равны: $AM = MB$.

Это означает, что точка $M$ является серединой отрезка $AB$. Таким образом, прямая $c$ делит пополам любой отрезок с концами на данных параллельных прямых. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.