Номер 235, страница 145 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

235. В треугольнике $ABC$ биссектрисы $AK$ и $CM$ пересекаются в точке $O$ так, что $AO = CO$. Докажите, что прямые $BO$ и $AC$ перпендикулярны.

Рассмотрим треугольник $AOC$. По условию задачи, отрезки $AO$ и $CO$ равны ($AO = CO$). Это означает, что треугольник $AOC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle OAC = \angle OCA$.

По условию, $AK$ и $CM$ являются биссектрисами углов $\angle BAC$ и $\angle BCA$ соответственно. Это значит, что они делят эти углы пополам:

$\angle OAC = \frac{1}{2} \angle BAC$

$\angle OCA = \frac{1}{2} \angle BCA$

Так как мы установили, что $\angle OAC = \angle OCA$, то из этого следует, что $\frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BCA$, а значит и $\angle BAC = \angle BCA$.

Если в треугольнике $ABC$ два угла равны ($\angle BAC = \angle BCA$), то этот треугольник является равнобедренным с основанием $AC$. Стороны, лежащие против равных углов, равны: $AB = BC$.

Точка $O$ — это точка пересечения биссектрис $AK$ и $CM$. В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке (инцентре). Следовательно, прямая $BO$ также является биссектрисой угла $\angle ABC$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ (где $AB = BC$) биссектриса $BO$, проведенная из вершины $B$ к основанию $AC$, является одновременно медианой и высотой.

Поскольку $BO$ является высотой к стороне $AC$, то по определению высоты прямая $BO$ перпендикулярна прямой $AC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.